Encontrar el área de un cuadrilatero inscrito en una circunferencia.

[twe]

Sea un punto en el arco menor de la circunferencia limitado por y . Encuentra el valor máximo del área del cuadrilatero .

y el radio .



Gracias de antemano.

[michel]

Hola twe. Bien venido al foro.

En un rápido vistazo al enunciado, noto superabundancia de datos: los tres lados, un ángulo y el radio del círculo circunscrito.

Me pregunto si serán compatibles.

Deberías copiar literalmente el enunciado, caso de que no lo sea el que mandas.

A la hora de hacerlo hay que tener en cuenta que los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscriptible son suplementarios, por lo que se puede hallar el ángulo D.

Por otra parte, como el triángulo ABC tiene área constante, el cuadrilátero tendrá área máxima cuando sea máximo el triángulo ADC.

Y ¿cuándo es máxima el área de un triángulo de base fija y ángulo opuesto constante?

Saludos

[twe]

mmm.... pues la verdad es que incluso asi no se el resultado  , porque segun con la hoja de respuestas el resultado que te debe de dar es area de . Hasta ahorita no doy con ese resultado.

Podrias ayudarme, por favor~.

[el_manco]

Hola

 Varias cosas.

 1) Como apunta michel, con los datos puedes hallar los otros:

 - Por el Teorema del coseno:



 - Y por otra parte:




 De ahí se deduce el radio.

 2) Como bien dice michel, tu problema se reduce a, fijada la cuerda , maximizar el área del triángulo . Prueba que el máximo se alcanza para el triángulo isósceles.
 

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

 Fijada la base piensa donde colocar para que la altura sobre tal base sea máxima.

Saludos.

[feriva]

Sea un punto en el arco menor de la circumferencia limitado por y . Encuentra el valor máximo del área del cuadrilatero .

y el radio .

Cuando D tiende a A, el área es prácticamente la del triángulo, cuando D tiende a C, lo mismo. En la medida que muevas el punto D, el área del cuadrilátero irá aumentando, pero al llegar al centro tienes dos triángulos simétricos, y si sigues moviendo el punto un poco más allá, deja de aumentar...

Saludos.