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dgz695
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« : 29/07/2012, 11:56:15 am » |
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Buenas tardes, necesito ayuda con el siguiente ejercicio.
Sean a y b dos enteros tales que mcd(a,b)=1
a)Demostrar que si d divide a b, entonces mcd(a,d)=1
b)Usar el "Lema de Eucludes" para demostrar que mcd(ac,b)=mcd(c,b)
c)Usar la anterior igualdad para hallar mcd(5000,31768)
d)Calcular el entero a tal que mcm(8,a)=56 y mcd(4,a)=2
Por favor, los necisto lo más justificadamente posible desde el punto de vista matemático.
Gracias de antemano.
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Tanius
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« Respuesta #1 : 29/07/2012, 12:27:29 pm » |
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Por favor, los necisto lo más justificadamente posible desde el punto de vista matemático. ¿Y qué has intentado? Un saludo  |
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dgz695
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« Respuesta #2 : 29/07/2012, 12:51:50 pm » |
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He hecho varios intentos, pero dudo mucho de que estén justificados. Por ejemplo, en el último ejercicio puedo decir que a=14, pero no se muy bien por qué, quiero decir, por la segunda condición sabes que a/2 es impar. Luego, aplicando la primera y las reglas básicas(seleccionamos todos los factores distintos que aparezcan, eligiendo siempre los de mayor exponente) sólo habría que dividir 56 entre 8 para hallar a/2... En los demás ni siquiera he llegado a eso... por lo que me vendría bastante bien una resolución completa...
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #3 : 29/07/2012, 12:55:42 pm » |
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¿Y qué has intentado para el primero?
Supones que d divide a b, y quieres probar que (a,d) = 1. Supón que no es cierto. Entonces a y d tendrían un divisor en común distinto de 1 y -1. Llámalo x. ¿Qué puedes deducir de ahí?
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dgz695
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« Respuesta #4 : 29/07/2012, 01:30:41 pm » |
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Que mcd(a,b)=mcd(a,d*b') tambien sería distinto a +-1? Aún así me gustaría saber resolverlo mediante el algoritmo de la división, el lema de Euclides, una identidad de Bezout... Es que el tema en el cual aparece el ejercicio hace incapié en eso...
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Tanius
Moderador Global
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« Respuesta #5 : 29/07/2012, 01:33:53 pm » |
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Que mcd(a,b)=mcd(a,d*b') tambien sería distinto a +-1? Aún así me gustaría saber resolverlo mediante el algoritmo de la división, el lema de Euclides, una identidad de Bezout... Es que el tema en el cual aparece el ejercicio hace incapié en eso...
Como  existen  tal que  , como  es  para algún  . Concluye que  . Un saludo |
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dgz695
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« Respuesta #6 : 29/07/2012, 01:44:10 pm » |
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Vale. Gracias. Algo así era lo que necesitaba... me está constando acostumbrarme a esta forma de razonar...  ¿Alguna ayuda con los restantes? |
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #7 : 29/07/2012, 01:49:10 pm » |
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Vale. Gracias. Algo así era lo que necesitaba... me está constando acostumbrarme a esta forma de razonar... ¿Alguna ayuda con los restantes? ¿Pero, antes de pasar a los siguientes, ya has logrado acabar el primero con las indicaciones de Tanius? ¿Cómo? |
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dgz695
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« Respuesta #8 : 29/07/2012, 02:11:01 pm » |
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 → mcd(a,d)=1 |
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #9 : 29/07/2012, 02:26:07 pm » |
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→ mcd(a,d)=1 ¿Entiendes por qué de ahí se deduce que el máximo común divisor es 1? |
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dgz695
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« Respuesta #10 : 29/07/2012, 02:41:41 pm » |
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Es una propiedad, ¿no? si, por el algoritmo de la división, i*x=j*y +1 entonces i y j son primos entre sí, luego su mcd es 1
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #11 : 29/07/2012, 02:51:03 pm » |
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Es una propiedad, ¿no? si, por el algoritmo de la división, i*x=j*y +1 entonces i y j son primos entre sí, luego su mcd es 1
Es una forma muy rara de verlo. En cualquier caso, no llegarás muy lejos con estos problemas si te contentas con aceptar cada paso diciéndote a ti mismo "es una propiedad". En este caso, si tienes que  , puedes deducir (sin apelar a ninguna "propiedad") que  y  son primos entre sí porque si  es un divisor común de y entonces  ,  , luego  , luego divide a 1, luego es  . Por eso a y b no tienen más divisores comunes que 1 y  . En general, cuando quieras probar que dos números y son primos entre sí, un procedimiento que debes considerar (no es seguro que sea el mejor en todos los casos, pero debes probarlo), es suponer que tienen un divisor común  (que incluso puedes suponer que es primo, si te conviene) y tratar de llegar a partir de ahí a una contradicción. Para el b) ¿a qué llamas exactamente Lema de Euclides? |
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #13 : 29/07/2012, 03:19:58 pm » |
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Vale. Muchas gracias.
Respecto al "lema de Euclides", me refiero a la siguiente conclusión:
Si a|bc y mcd(a,b)=1 → a|c
Pues entonces llama d = mcd(ac,b) y demuestra que d divide a mcd(a,b). Para ello puedes usar el apartado a) y el lema de Euclides. |
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nktclau
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« Respuesta #14 : 03/08/2012, 08:05:33 pm » |
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Hola dgz695Veamos si esto ayuda para que puedas arrancar. Una aclaración antes, cuando digo  me refiero al mcd de a y b 1) Si y  Sea  con  además por definición de mcd  así existe un primo positivo  tal que  Si  como popr hipótesis  por transitividad si  Por transitividad nuevamente  es un comun divisor de a y b por lo tanto  Absurdo pues p es un número primo, además los únicos divisores de 1 son  . este absurdo provino de suponer que  .Luego Si y Saludos |
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dgz695
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« Respuesta #15 : 09/08/2012, 03:33:49 pm » |
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Vale. Mucho más claro. No me habría imaginado tener que hacerlo por reducción al absurdo.Gracias.  |
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nktclau
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« Respuesta #16 : 09/08/2012, 04:40:39 pm » |
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