Equivalencias del principio de inducción

[valdemar]

Tengo un dilema que todavía no me explico del todo. Ustedes me dirán si estoy mal. Según yo, hay esencialmente dos forma de comenzar a construir los números reales. Una es partiendo de la teoría axiomática de conjuntos, y la otra es iniciando una teoría formal axiomática con los axiomas de Peano. Pues bien, en teoría se supone que si yo parto de la teoría axiomática de conjuntos y llego a los axiomas de peano, el desarrollo que tome para la definición de los números reales debería ser válida para ambos enfoques.  Es aquí donde comienza un poco mi problema.  De acuerdo con esto, si comienzo mi desarrollo a partir de una teoría axiomática con los axiomas de Peano, es equivalente suponer como dado el principio de inducción, el principio de inducción completa, o bien el principio del buen orden. Pero entonces si comienzo con la teoría de conjuntos, la definición de N dependerá de la definición de un conjunto inductivo, un conjunto inductivo completo, o un conjunto con buen orden, según sea el caso, y no a que yo pueda concluir la equivalencia si tomo la definición corriente de N como "el conjunto inductivo más pequeño". Esto es así? Además supongo que tengo que demostrar que un orden visto desde la teoría de conjuntos es equivalente o en todo caso "más general" que la de un orden como que "a<b si exite p en N tal que a+p=b". Si me pudieran orientar les agradecería mucho.

[Cristian C]

Hola Valdemar.
Me cuesta un poco entender tu problema dado el modo como lo has descripto.

Pues bien, en teoría se supone que si yo parto de la teoría axiomática de conjuntos y llego a los axiomas de peano, el desarrollo que tome para la definición de los números reales debería ser válida para ambos enfoques.

A partir de la teoría de conjuntos puede construir los naturales como conjuntos y probar los axiomas de Peano como teoremas.

Para construir los reales a partir de allí, deberás utilizar esos conjuntos (los naturales) y esos teoremas (los axiomas de Peano), pero también necesitaras otros elementos que estan en la teoría de conjuntos y no en la aritmética de Peano (funciones, clases de equivalencia, etc.).

Pero entonces si comienzo con la teoría de conjuntos, la definición de N dependerá de la definición de un conjunto inductivo, un conjunto inductivo completo, o un conjunto con buen orden, según sea el caso, y no a que yo pueda concluir la equivalencia si tomo la definición corriente de N como "el conjunto inductivo más pequeño". Esto es así?

Esta es la parte que no entiendo. Dices que en TC la definición de no depende de que puedas "concluir la equivalencia". ¿Qué equivalencia?

Saludos.

[argentinator]

No es lo mismo "construir" un conjunto de números que "darlos en forma axiomática".

Es común en mucha gente ver que se lo toman como "dos enfoques distintos" con los cuales desarrollar la teoría de los números reales.

Yo no comparto esa visión. Pienso que ni la forma "constructiva" ni la forma "axiomática" sirve para fundamentar correctamente los números reales, o los naturales, o los que fuere.

El mundo en el que nos movemos es el de la TC.
Allí hay reglas para definir ciertos conjuntos, o incluso "clases" de conjuntos (que a veces pueden quedar definidas sólo en forma "virtual", si la teoría es ZFC, pero no hablemos de esto).

Tu problema parece ser que es la "ambigüedad" en las construcciones.
Si hay dos formas de construir "algo", ¿cuál de los dos entes resultantes es el que tengo que tomar como el verdadero y definitivo?

Si uno construye "algo" y lo llama "números naturales", ya está, esos serían los números naturales y no habría ambigüedad alguna.

Pero viene otro tipo y dice: he construido otra cosa distinta, y yo digo que son "números naturales" también, igual de válidos.

¿A quién le damos la razón?
Para saber si las dos construcciones son "correctas" hay que ver si cumplen todas las propiedades que tienen los números naturales...

Pero para certificar esto, tenemos que saber cuáles son esas propiedades.
Listar dichas propiedades es poner en evidencia una lista de "axiomas" de aquello que consideramos debe satisfacer un sistema de números naturales.

O sea que a fin de cuentas estamos trayendo al mundo una definición de números a través de axiomas.
Si esos axiomas son satisfechos por una determinada construcción, entonces la construcción queda certificada como válida.

O sea que puede haber muchas construcciones basadas en inicios o técnicas distintas, y ser todas válidas.

___________________

Aún así hay riesgo de ambigüedad.
Supongamos que tenemos dos construcciones N y M de conjuntos que cumplen una cierta lista de axiomas elegidos por nosotros, que definen el concepto de "números naturales".

Puede ser que N y M no se comporten igual.

Esto pasa con la noción de espacio vectorial.
Dos espacios vectoriales distintos pueden tener una dimensión distinta, y entonces los axiomas de espacio vectorial no determinan estructuras equivalentes.

Pero con los axiomas de los números naturales ese problema no ocurre.
Tenemos la suerte de que dos sistemas N y M distintos de números naturales son equivalentes entre sí.
Esto quiere decir que, en esencia, salvo isomorfismos, todos los sistemas "construidos" de números naturales se comportan del mismo modo, y no hay ambigüedad en usar uno u otro.

Tanto es así, que es fácil confundir el sistema axiomático de los naturales con los ejemplos construidos que cumplen dichos axiomas.

__________

Otro problema latente con un sistema axiomático es que puede ocurrir que ningún conjunto sea capaz de cumplir con los axiomas propuestos.
Si alguien te da los axiomas de los números naturales, ¿tienen sentido?
¿Existe un conjunto que cumple esos axiomas?
Si no, el concepto no tiene sentido, no podría haber tales números.

Justamente, una "construcción" de un conjunto N que cumple los axiomas de los naturales sirve para eso: demuestra que hay al menos un conjunto que cumple las propiedades listadas en los axiomas.

______________

A partir de los naturales se construyen luego los enteros, los racionales y los reales.

¿Se construyen o se dan por axiomas?

La situación es la misma que antes.

Si uno construye dos conjuntos, y luego dice que ambos sirven como "números reales", ¿con qué criterio puede afirmar esto?
De nuevo, es menester reconocer que uno tiene en su cabeza escondidos unos axiomas que debe poner en evidencia, formalmente. O sea, uno tiene que reconocer que está pensando en una lista de axiomas que definen el concepto de número real.

Al dar la lista de axiomas uno tiene que preocuparse de que tengan sentido: así uno exhibe un ejemplo que los cumple, para lo cual basta exhibir una construcción dada y demostrar que todas las propiedades exigidas por la lista de axiomas se cumplen.

Luego uno se pregunta si tener muchas construcciones distintas del mismo concepto no es, de nuevo, ambiguo.

Pero otra vez tenemos suerte.
Tanto los números naturales, como los enteros, los racionales y los reales, son inambiguos.

Dos construcciones distintas que cumplen los axiomas de los números reales son equivalentes entre sí (se puede pasar de uno a otro sistema con una biyección que respeta las operaciones aritméticas y las propiedades ordinales).

[argentinator]

Ya hubo discusiones sobre esto en el foro, y el resultado es más o menos lo que sigue a continuación.

Construcción de los Sistemas Numéricos.

La gente está cansada de que le haga tanta propaganda a ese hilo,
pero justamente lo escribí para discutir este tipo de cuestiones sobre los números, que surgen con frecuencia.

___________

En cuanto a la equivalencia entre la relación de orden y la relación a + x = b, bueno, eso depende de qué definición estés usando de la relación de orden en los números naturales, o de si estás en una versión constructiva, o desde los axiomas.

Para los números naturales hay muchas formas equivalentes del Principio de inducción, y por lo tanto muchas formas equivalentes de introducir las operaciones y relaciones de orden.

Saludos

[valdemar]

Muchísimas gracias por sus respuestas.

Cristian:

Me cuesta un poco entender tu problema dado el modo como lo has descripto.

Mi problema básicamente surge cuando me pregunto ¿por qué todos mis profesores se empeñan en remarcar que el principio del buen orden, el principio de inducción completa, y el principio de inducción ordinaria son equivalentes como propiedades básicas de N? Entonces me comencé a preguntar qué se entiende por propiedades básicas. Luego leí un poco sobre los axiomas de Peano y pensé que ese era en realidad el inicio de los sistemas numéricos, y que es ahí donde las equivalencias del principio de inducción toman sentido. Pero hay algo raro en esto porque para hablar de N, involucras la definición de conjunto. Entonces llegué después a los axiomas de ZF. Entonces supuse que si ZF es más básico, en realidad los axiomas de Peano se pueden construir a partir de ZF, como ya me has confirmado. Ahora mi observación es que todo mundo prefiere tomar el principio de inducción como postulado básico y de ahí concluir las otras dos equivalencias (del principio de inducción), por lo menos si se establecen los axiomas de Peano como sistema sin construir N a través de conjuntos. Entonces mi duda era si en ZF al construir N ocurre lo mismo, porque de hecho en ZF el axioma de la existencia de un conjunto infinito hace referencia a un conjunto inductivo, y no a un conjunto bien ordenado, o aun conjunto con inducción completa. Esto a mi parecer significaría que estoy tomando como postulado básico el principio de inducción en vez de cualquiera de los otros principios. Esto lo pienso así porque para demostrar la equivalencia entre estos principios (IO, IC, BO), suponiendo que parto del axioma de conjunto infinito en ZF, entonces se demuestra directamente que en N se vale IO. Luego utilizo IO para demostrar que en N se vale IC. Luego utilizo IC para demostrar que en N se vale BO. Y aparentemente me quedaría demostrar que BO implica IO, para demostrar la equivalencia entre los tres principios. Pero me suena que esto está mal. Más bien lo que supongo que debería ser es que la equivalencia entre los principios debe partir de asumir en forma distinta el axioma de conjunto infinito, en vez de considerarlo como la existencia de un conjunto inductivo, considerarlo como la existencia de un conjunto bien ordenado, o de un conjunto inductivo completo. Pero esto no me queda muy claro porque el axioma del conjunto infinito ya está puesto en ZF, y está  siempre como la existencia de un conjunto inductivo. En realidad no sé si me estoy complicando la existencia y es algo obvio, pero es algo que no entiendo del todo.

Argentinator:

Muchísimas gracias por tu aporte, sobretodo me voy a leer tu construcción que haces paso a paso y si no te importa preguntarte mis dudas. En realidad creo que me expliqué mal en mi redacción, pero de todas formas hay cosas que no había pensado y que me aclaran bastantes "trabas" que tenía, aunque sólo hay una parte que no acepto todavía:

Pienso que ni la forma "constructiva" ni la forma "axiomática" sirve para fundamentar correctamente los números reales, o los naturales, o los que fuere.

Ahora no se mucho sobre el tema pero según lo que voy entendiendo,  yo puedo crear un sistema axiomático para cualquier cosa, pero sólo cuando demuestre que existe un conjunto que satisface dichos axiomas, voy tener la certeza de que puedo aplicar todo lo establecido en ZF. Entonces cuando construyo R a partir de los axiomas de peano, asumo que N es un conjunto, pero entonces al construir N usando la teoría de conjuntos me da la certeza de que en realidad mi sistema tiene sentido para trabajar con ZF, aunque es posible que no sea el único conjunto que satisfaga mis axiomas. Ahora bien, de acuerdo con lo que entiendo, R resulta ser único en ZF, salvo isomorfismo. Y de esto si bien podría ser, tal vez aunque no estoy seguro, incompleta la descripción de R, no está fundamentado de forma incorrecta. Digo de nuevo, todavía me falta mucho por analizar y pensar pero esto es lo que creo en este momento. Y tal vez lo que digo no tiene sentido, pero es lo que siento hasta ahora.

[argentinator]

Un sistema axiomático en ZF define una "clase de conjuntos".

Construir un conjunto tal y tal es "definir un conjunto específico" y demostrar que "pertenece a la clase dada por los axiomas".

Si la clase es vacía, el sistema axiomático era contradictorio, dice que esos axiomas son imposibles de cumplirse todos juntos.
Por ejemplo, si a los axiomas de grupo les agregás que el grupo tiene orden 5 y un subgrupo de orden 2, te da un absurdo.

Uno puede poner como axiomas lo que quiera, lo cual no significa que vaya a servir para algo, o sea, esos axiomas pueden definir objetos que no existen: la clase vacía.

El rol de las construcciones es demostrar "existencia" de objetos.
El rol de los isomorfismos es demostrar "unicidad".

En efecto, no hay un único conjunto de números reales, sino que hay infinitos.
Todos tienen el común la lista de propiedades que nos interesan de los números reales.
No es que esté "incompleto" el sistema, sino que eso es lo que sucede.

Uno podría elegir uno de esos conjuntos específicos y decir: bueno, estos son los números reales a partir de ahora, y sólo éstos.
Pero ¿por qué razón, y con qué derecho hace eso?
¿Y por qué no puede venir otro a proponer mejor otro conjunto distinto con igual razón?

Por eso digo que no se puede uno quedar con una sola de las infinitas construcciones posibles.

______________

Para mí, es inevitable usar tanto los axiomas como las construcciones. Se necesitan las dos para hablar de números.
Pero más aún, se necesita demostrar la unicidad, que todos los conjuntos son isomorfos.

Y sin ir más lejos, te doy un claro ejemplo de que no puede siquiera pensarse en elegir un solo conjunto de números para trabajar.

Supongamos que decimos que los naturales se construyen en ZF a partir de meros conjuntos.
Al construir los reales a partir de ahí, tienen un subsistema de números naturales que es isomorfo al sistema original, pero que no es el mismo conjunto.

¿Cuál sistema de naturales vas a usar, el que construiste primero en ZF, o el que se obtiene como subconjunto después de construir los reales?

_________

Es cierto que quisiéramos que haya un solo conjunto de números naturales, o de reales, pero no lo hay, no nos queda cómodo.

Sin embargo, en la práctica, uno necesita trabajar con un conjunto concreto.
Entonces uno "supone" que ha tomado un conjunto específico que cumple las propiedades de los números reales, y trabaja con ellos y los usa.

Pero ni siquiera especifica cuál es ese ejemplo concreto elegido,
y entonces parece que estuviéramos trabajando en abstracto, meramente con los axiomas de los reales, y no con una construcción específica.

Por otra parte, trabajar sólo con los axiomas de los reales en la práctica es la única vía posible, porque no hay necesidad ni criterio alguno para preferir una construcción de los reales a otra.
Así que no podemos usar propiedades específicas de una construcción dada, y sólo está permitido usar propiedades que provengan de los axiomas, aunque se suponga que uno tiene un conjunto específico y concreto...

Hay confusiones entre el concepto de número, el uso que se hace de ellos, las construcciones de los números, entre otras cosas.

Además, los axiomas de los números se pueden dar sin la teoría de conjuntos, en forma independiente, y esa es otra historia. Yo ahí ya mucho no te puedo ayudar.
Pero en ese caso no queda más remedio, parece, que introducir los números a partir de axiomas.

___________

A nivel filosófico, me estoy volviendo bastante constructivista, y me parece que a fin de cuentas tomaría como definición de números naturales una "construcción" específica, y no el sistema axiomático que párrafos arriba parece que defiendo tanto.

Lo defiendo sólo en el marco de ZFC, porque allí ocurren las cosas que ocurren.
Si el fundamento de la matemática se toma como ZFC, hay que entender las consecuencias que se obtienen. Entre ellas, qué significado tiene un sistema axiomático "dentro de ZFC", qué significa construir algo en ZFC, y qué son los números en ZFC.

Saludos