Hola Carlos:
He abandonado por ahora el estudio de las versiones conjuntistas de los teoremas de Gödel porque aún debo terminar de aclararme algunas ideas respecto a la presentación general. Concretamente respecto a teorías aritméticas no recursivas.
La relación
es no recursiva y sin embargo puede designarse con una fórmula del lenguaje.
En lo que sigue, diré que una relación es
designable si es la interpretación natural de alguna fórmula del lenguaje. Evidentemente, una relación puede ser no recursiva y designable, como en el ejemplo.
Diré que una teoría aritmética es
designable si la relación
que define los códigos de sus axiomas es designable.
Me queda por ver qué puede significar que una relación sea no designable. No abordo ese tema ahora.
A continuación van dos teoremas. El primero es una extensión del 2° teorema de incompletitud extendido al caso de teorías aritméticas designables (recursivas o no) y el segundo se sigue del primero, y he visto después que tal vez, podría haberse derivado del teorema de Tarski.
Nada asegura que todo esto esté bien, ni que sea claro ni que las pruebas sean suficientes. Te pido pues, que lo revises, si tienes ganas. Si hay algún error, me serviría mucho saber cuál es para seguir acomodando estas ideas en mi cabeza.
Teorema 1Si
es una teoría aritmética designable, entonces
ssys
es contradictoria.
(Observemos que si
es no designable, entonces
no se puede definir, y la tesis carece de sentido).
Demostración:
Si
es contradictoria entonces todo es demostrable en
y en
particular
.
Si
sea
el código de una demostración de
en
, sean
los axiomas de
presentes en
y sea
la teoría que resulta de agregarle
a los axiomas de Peano. Entonces se tiene que
es una teoría aritmética recursiva y además
es una demostración de
en
, esto es,
(1).
Ahora veremos que si
entonces
Sean
y
las fórmulas definidoras de los códigos de los axiomas de
y
respectivamente.
Ahora observemos que el hecho de que
sea no recursiva, implica que no para todo natural
se tiene que si
entonces
, pero podrían existir algunos naturales donde esa condición sí se verifique. Eso es lo que ocurre con los naturales
, ya que si
es una demostración en
y
son los axiomas de
presentes en
, entonces las afirmaciónes
son finitamente verificables y las sentencias
son demostrables en
, esto es,
, con
. Lo mismo ocurre con los axiomas de Peano, ya que si
es una teoría aritmética, debe poder verificarse en un número finito de pasos que los axiomas de Peano son axiomas de
(o teoremas demostrables a partir de axiomas de
finitamente verificables). Pero entonces, para todos los axiomas de
, la implicación “si
es un axioma de
entonces
es un axioma de
” puede verificarse en un número finito de pasos, entonces es demostrable en
, esto es:
De donde se sigue que
donde
y
son las relaciones que "
es una demostración de
'' en
y
respectivamente. Equivlentemente:
Particularizado para
, donde
es el código de la sentencia
, tenemos
.
Pero si esta sentencia es demostrable en
entonces es demostrable en toda teoría aritmética. En particular, es demostrable en
, resultando
(2)Recordemos ahora que en (1) llegamos a
que por definición de
es
(3)de (2) y (3) sigue
Esto es
Luego,
es contradictoria por 2° teorema de incompletitud y
contradictoria por ser una extensión de
-------------
Teorema 2Toda teoría aritmética designable y estandar es incompleta.
Demostración:
Sea
una teoría aritmética designable y estandar. Veremos que
es indecidible en
.
Si
entonces por teorema anterior,
es contradictoria y por lo tanto no admite un modelo estandar. Luego no
Si
y
es estandar, entonces
es verdadera en su interpretación natural, entonces
es contradictoria y por lo tanto no es estandar. Absurdo. Luego no
.
Por lo tanto
es indecidible en
y
es incompleta.
------------
Este teorema está en línea con el teorema de Tarski, ya que si existiera una teoría aritmética designable, estandar y completa
, entonces la fórmula
se interpretaría como "x es el código de una sentencia aritmética verdadera'' y la verdad aritmética sería definible.
Saludos
