Hola,
tu argumento es perfecto aunque no sé por que te lías al final. Si defines
entonces, como es un polinomio de grado impar, tienes lo que deseas. Tu forma de proceder con los límites es totalmente correcta.
El teorema de Bolzano te permite concluír que existe un punto
tal que
Observa que no te dice como obtener dicho valor. Por tanto, el hecho de que
no contradice nada de lo que dices.
Por otra parte el dominio de la función son todos los reales (es un polinomio). No entiendo porque quieres excluír el menos uno.
Otra forma sería la siguiente. Por tanteo obtenemos dos valores en los que la función tome distinto signo. Por ejemplo
y
Aplicas Bolzano en el intervalo
y ya tienes la conclusión.
Un saludo
