idela primo y dominio de integridad

[kiko]

Hola a todos. ¿cómo podría iniciar para resolver la siguiente prueba ?

Sea un anillo conmutativo con . Demuestre que el ideal principal generado por en el anillo de polinomios es un ideal primo si y sólo si es un dominio de integridad.

La idea que tengo es:

Dado un anillo . ideal primo si y sólo si es dominio de integridad.

Además, sé que si es un anillo con dominio de integridad, entonces es dominio de integridad.


Muchas gracias

[Carlos Ivorra]

Si R no es un dominio íntegro, existen no nulos tales que , Considera los polinomios y . Su producto está en el ideal generado por , pero ninguno de ellos lo está.

Si R es dominio íntegro y un producto es múltiplo de x, entonces el producto de los términos independientes de los factores es cero, luego uno de los factores tiene término independiente cero, luego es múltiplo de x.

[kiko]

Muchas gracias Carlos.

He comprendido la prueba, además logré entender otro ejercicio que estaba estudiando. Me ha ayudado para entender un poco más la noción de ideal principal y el de dominio de integridad


Estoy muy agradecido.