Hola
No entiendo lo que estas haciendo. No entiendo porque haces dos argumentos paralelos (¿intentas demostrarlo de dos formas?). Además no son correctos.
Prueba: Tomando
, sabremos que
pero
. De esto, para cada abierto
, tal que
, la intersección
y
puede o no intersectar a
. Así tendremos que
siempre será no vacía, luego
.
¿Por qué deduces que
será siempre no vacía?. No has usado que
(lo único que dices es que
puede intersecar o no a
, lo cuál es una obviedad sin ninguna hipótesis
).A priori podría ocurrir que
y por tanto
Para la otra: Tomamos un punto
entonces
y
. De esto cada abierto
tal que
, intersecta a
e intersecta a
, luego
intersecta a
.
¿Qué otra?. Por otra parte que un conjunto interseque a dos no quiere decir que lo haga en los mismos puntos y por tanto no quiere decir que interseque a su intersección.
¡En ambos casos!
¿Qué casos?.
El razonamiento que yo apunto que te falta sería algo así. Si
entonces existe un entorno
de
tal que
, es decir,
. Ahora dada otro entorno abierto
de
, como
y
. Por tanto
y así
.
(en fin el argumento que ya te dio filomates...
)
Saludos.
