Homeomorfismo...

[xxneroxx]

Estoy estudiando un poco de topología, y me he encontrado con este ejercicio, si alguien pudiera darme alguna sugerencia de como tratarlo se lo agradecería.

Let be partitioned into subjets of the form for all in . If we let denote the colletion of sets in the partition, show that with the resulting quotient topology is homeomorphic to .

[Tanius]

¡Hola!

En este foro cuidamos la ortografía, además de que los símbolos matemáticos deben ir escritos con Latex. Esta vez edité yo tu mensaje, revísalo, y cuando puedas, por favor dale una leída al tutorial de Latex que está en las reglas del foro, aquí:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,870.0.html

En cuanto al problema, déjame ver si entiendo...

Consideramos dos espacios topológicos y el espacio producto . El conjunto es efectivamente una partición de .

Consideramos la función sobreyectiva dada por para cada . Dotamos a de la topología cociente .

La función dada por para debe ser el homeomorfismo buscado.

Un saludo 

[xxneroxx]

Gracias Tanius ya estoy poniéndome al día con látex.

En cuanto a la función , para terminar el ejercicios debo verificar que efectivamente es un homeomorfismo . En tal caso seria: h una biyección y ademas tanto h como sean continuas?

[Tanius]

Sí.

Por ejemplo, para ver que es continua, basta notar que (donde es la segunda proyección del espacio ).

Hay que probar que si es abierto, entonces es abierto. Pero es continua, luego es abierto en . Siendo una función sobreyectiva y abierta, tenemos que es abierto en .

Un saludo 

[xxneroxx]

Creo que me perdí un poco. Para demostrar continuidad en   basta probar que dado un abierto de su imagen inversa es abierto en . Sin embargo no entiendo como defines la función proyección .

[Tanius]

Es la función dada por para cada .

Un saludo 

[xxneroxx]

Hola Tanius

Que pena molestarte tanto, el libro que sigo para estudiar es el de Topologia de Munkres. Cuando hacen la definición de Homeomorfismo aclaran que la función definida debe ser biyectiva, para nuestro caso seria , ¿esto no haría parte de la demostración? 

[Tanius]

Claro que sí, no estoy escribiendo todos los detalles para dejar que tú termines de hacerlo, es lo mejor para que uno aprenda. Pero desde luego, yo no tengo ningún problema con el hecho de que preguntes tus dudas.

La función es biyectiva porque es invertible, la inversa es la función dada por para cada . Es decir, se verifica que tanto como son las respectivas funciones identidad.

Un saludo