Si
es un punto de acumulación de
entonces para toda bola de centro
y radio
existe un punto de
en dicha bola (distinto de
). Tomando como radiio
existe un punto
tal que
Esto demuestra que existe una sucesión de puntos de
distintos de
que converge a
Veamos ahora que si existe una sucesión de puntos de
distintos de
que converge a
entonces
es un punto de acumulación de
(Ojo, los puntos de la sucesión deben ser distintos de
pues si
entonces la sucesión
converge a
y
no tiene porque ser un punto de acumulación de
). Como
converge a
para toda bola de centro
y radio
existe
tal que
Finalmente,
es el conjunto de puntos del plano que caen el la franja
y están fuera de la bola de centro
y radio uno. Construyamos la sucesión. Tomamos
Entonces debe ser
Por ejemplo, la media de los valores extremos, es decir,
