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nktclau

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Demostración función derivable

« : 16/07/2012, 04:13:41 pm »

Hola GENTE QUERIDA DEL FORO!!!!! ¿Cómo están?? tanto tiempo.

Necesito me den una manito por favor con el siguiente ejercicio

Sea f una función tal que $|f(x)|\leq{x^2}$ $\forall{x}\in{\mathbb{R}}$ entonces f es derivable en cero.

Debo probar que $\displaystyle\lim_{x \to{0^-}}{\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} =\displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}$

Supongo que $f(x)\geq{0}\Longrightarrow{|f(x)|=f(x)}$ pero por hipótesis como $|f(x)|\leq{x^2}$ lo cual es equivalente a decir $x^2\geq{f(x)}\geq{0}$ .

Si $x=0 \Longrightarrow{0^2\geq{f(0)}}\geq{0}\Longrightarrow{f(0)=0}$

Luego $\displaystyle\lim_{x \to{0^-}}{\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} =\displaystyle\lim_{x \to{0^-}}{\displaystyle\frac{f(x)}{x}}$

y no se como deguir :BangHead:

quizas haya que tomar otro camino, ¿me ayudan por favor?
MUCHAS GRACIAS!!!


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numbsoul

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Re: Demostración función derivable

« Respuesta #1 : 16/07/2012, 04:26:00 pm »

Basta que pruebes que $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)}{x}$ existe y es finito.

Observa que $\dfrac{|f(x)|}{|x|}\leq \dfrac{|x|^{2}}{|x|}=|x|$ .


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$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{\pi^{2}}{6}$

nktclau

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Re: Demostración función derivable

« Respuesta #2 : 16/07/2012, 04:47:16 pm »

Hola Numbsoul, MUCHAS GRACIAS por tu gran ayuda antes que nada

no comprendo por que $\displaystyle\frac{|f(x)|}{|x|}=|x|$ :¿eh?:

y como uso esto para probar $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)}{x}$ que existe y es finito??

GRACIAS NUEVAMENTE


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numbsoul

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Re: Demostración función derivable

« Respuesta #3 : 16/07/2012, 04:51:25 pm »

Tenemos $|f(x)|\leq x^{2}=|x|^{2}$ .
Dividiendo por

,se tiene que $\dfrac{|f(x)|}{|x|}\leq \dfrac{|x|^{2}}{|x|}=|x|$ .

Ahora haz $x\longrightarrow 0$ .


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nktclau

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Re: Demostración función derivable

« Respuesta #4 : 16/07/2012, 04:57:35 pm »

ahhhh!!! a ver si comprendi

$\displaystyle\lim_{x \to{0}}{0}\leq{\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\frac{|f(x)|}{|x|}}}\leq{\displaystyle\lim_{x \to{0}}{|x|}}$

por teorema de estricción este limite es cero :indeciso:


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pabloN

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Re: Demostración función derivable

« Respuesta #5 : 16/07/2012, 04:59:06 pm »

Cita de: nktclau en 16/07/2012, 04:57:35 pm

Sí


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I have a dream that one day no message of "Connection Problems" will appear. I still have a dream... :risa:

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Re: Demostración función derivable

« Respuesta #6 : 16/07/2012, 05:36:45 pm »

GRAAACIAS NUMBSOUL!!!!!!!!!!!!!! Aplauso

MIL PERDONES!!!!!!!!!!!!!!!

PabloN!!!!!!!!!!!! MUCHAS GRACIAS A TI TAMBIÉN, ¿cómo estas tanto tiempo? :guiño:


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