Matriz es invertible sii su rango es n

[Hernan_ER]

¿Alguien me podría dar una demostración de este teorema sin hacer uso de determinantes? Ya que el de las notas usa teorema de Rouche y me parece medio entreveradizo. O si tienen algun link que lo demuestre les agradezco si me lo dan.

Gracias

[HernanV]

Dada , se dice que es inversible sii , lo que equivale a , que equivale a decir que las columnas de la matriz forman un conjunto LI, pues la única solución al problema es (en donde es la i-ésima columna de la matriz). Eso equivale a decir que el rango de la matriz es , pues es la dimensión del espacio columna de la misma.

[Hernan_ER]

Ah bien, creo que eso es mucho mas práctico.
Muchas gracias

[Hernan_ER]

 ¿Lo primero que dices es la definición de matriz inversible o es algo que debería probar aparte?

[Tanius]

Si es una matriz cuadrada de orden , ésta será invertible si y sólo si su transformación lineal dada por es invertible, lo cual equivale a decir que es biyectiva. Pero la condición de que la nulidad de sea es equivalente a que es inyectiva, lo cual es equivalente a decir que es biyectiva, pues el dominio y contradominio es .

Un saludo 

[Hernan_ER]

Gracias!

[ygolles]

se sabe que el rango de una matriz es igual al numero de filas no nulas de su forma escalonada y que una matriz es invertible si su
determinante es diferente de cero. por lo que la matriz invertible en su forma ecalonada no debe tener filas nulas ya que si una fila es nula su determinante cera igual a cero, por lo tanto el rango de la matriz debe ser igual al numero total de filas osea n.