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Autor Tema: Deducción natural en lógica proposicional y en lógica de primer orden  (Leído 2247 veces)
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pabloN
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« : 13/07/2012, 02:12:44 pm »

Hola, estaba haciendo ejercicios de deducción natural. Y me encuentro con algunos que creo que no son difíciles, pero me cuesta este tema.

Por poner un ejemplo:

1)
2)

He terminado de hacer la primer prueba. Me quedó así:



Pero en lógica de predicados es mucho más complicado aún (al menos para mí). Por ejemplo, estas dos del segundo parcial del año pasado:

1)
2)

Dejo aquí algunos links útiles por si alguien tiene tiempo de ayudarme:

Diapositivas del teórico del curso
Yoda para proposicional
Yoda para predicados

"Yoda" es un programa que hizo un profesor para generar las derivaciones. Es lo que se ve en la imagen adjunta.

Desde ya, muchísimas gracias.

Saludos a todos.

P.D. Si alguien sabe cómo construir alguna de estas derivaciones, para no tener que dibujar esos incómodos árboles en LaTeX puede hacerlos en Yoda y adjuntar en su mensaje una captura de pantalla como yo he hecho aquí  :guiño:. ¡Gracias!

* derPROP.png (17.44 KB - descargado 745 veces.)
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« Respuesta #1 : 13/07/2012, 02:41:48 pm »

Pues no sé muy bien cuáles son tus "reglas del juego", pero te digo la idea para el caso 1) y a ver si puedes formalizarla con tus reglas:

De algún modo, para probar la implicación, tendrás que suponer la parte de la izquierda:



para tratar de llegar a la parte de la derecha.

De esta hipótesis tienes que poder pasar a



por un lado y a



por otro lado. ¿Puedes razonar por reducción al absurdo? Si es así, supón , con lo que tienes que poder pasar a y eso contradice la primera parte de la premisa, luego tienes que poder concluir .

Ahora, usando la segunda parte de la premisa tienes que poder concluir , y con esto llegar a .

A ver si puedes convertir esto en una deducción según la definición que te hayan dado.
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pabloN
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« Respuesta #2 : 13/07/2012, 02:51:49 pm »

¿Puedes razonar por reducción al absurdo?

Sí, se puede. Muchas gracias. Voy a intentar seguir los lineamientos generales que me has dado para contruir la derivación. Si tengo alguna dificultad (que siempre la tengo, suelo trabarme mucho en estos ejercicios), volveré por aquí.

Un saludo.
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« Respuesta #3 : 14/07/2012, 02:36:14 am »

No entiendo la demostración que se ve en la imagen del primer mensaje. Yo la haría de este modo:



Las reglas usadas son: introducción de la disyunción, modus ponens, la eliminación de la conjunción, la eliminación e introducción de la negación.

En cuanto a 1) de las fórmulas cuantificacionales, de podés obtener (eliminación del cuantificador universal) que como premisa de un modus ponens permite concluir, como dice el comentario anterior, que podés generalizar.

Para 2) también necesitás introducción y eliminación del existencial. PAreciera que necesitás también reglas para manejar la igualdad ¿es así? ¿cuáles son?

Una cosa más, si tenés más ejercicios en algún archivo en la computadora ¿podríamos pasármelos? Te agradecería.

Saludos
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« Respuesta #4 : 14/07/2012, 11:11:03 am »

No entiendo la demostración que se ve en la imagen del primer mensaje. Yo la haría de este modo:

Bueno, afortunadamente yo entiendo la tuya  :risa:. Por eso puedo decir que has reproducido exactamente mi demostración, algo así como si "desenrollaras" el árbol. El profesor de teórico nos dijo que hay dos maneras clásicas de ver la deducción natural: la lineal (que parece que es la que tú conoces), y la que es en forma de árboles (que es la que a nosotros nos enseñan, y que según ellos -no estoy seguro de que así sea- es la mejor de las dos). Lo importante es que las reglas del juego son las mismas, si bien puede haber alguna sutil diferencia en cuanto a los nombres. Por ejemplo, la regla de modus ponens la conocemos como elminación de la flecha.

Te sugiero que leas el pdf adjunto (si te interesa), y en seguida comprenderás la similitud con tu forma de proceder. No lo escribo todo aquí pues tardaría mucho tiempo y además no es fácil dibujar árboles en .

Una cosa más, si tenés más ejercicios en algún archivo en la computadora ¿podríamos pasármelos? Te agradecería.

En los links que mencioné en mi post anterior encontrarás muchísimos. Pero te propongo éste:



Puedes hacerlo de la manera que sabes y yo hago la traducción a árbol.

Saludos

* 06_12_PropDN.pdf (60.25 KB - descargado 517 veces.)
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« Respuesta #5 : 14/07/2012, 01:04:49 pm »



¿Alguien se le ocurre algo? No me sale  :BangHead:.
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« Respuesta #6 : 14/07/2012, 01:14:59 pm »



¿Alguien se le ocurre algo? No me sale  :BangHead:.

Empieza suponiendo



Luego supón por reducción al absurdo.

Demuestra

(por ejemplo, supón , de ahí llegas a una contradicción y eso implica ).

Ahora, tu hipótesis te da , con lo que tienes una contradicción con tu hipótesis de  , y eso implica  .

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« Respuesta #7 : 14/07/2012, 02:04:30 pm »

Primero: ¿algún link útil para tablas en latex? intenté esto: http://es.wikipedia.org/wiki/Ayuda:Usando_TeX#Tablas
pero dice que hay un error.

La demostración de: (tal vez haya alguna más corta, no se me ocurre ninguna aún)

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« Respuesta #8 : 14/07/2012, 02:28:40 pm »

En cuanto a:




Faltarían reglas que involucren la igualdad para: . Además ¿significa algo el apóstrofe o es una errata?

Saludos
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« Respuesta #9 : 14/07/2012, 04:15:01 pm »

Jeje, no sé por qué hice semejante rodeo.
La demostración de podía ser más corta. A saber:




¿Hay demostración sin E.F.S.Q.?
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« Respuesta #10 : 14/07/2012, 10:19:07 pm »

Empieza suponiendo



Luego supón por reducción al absurdo.

Demuestra

(por ejemplo, supón , de ahí llegas a una contradicción y eso implica ).

Ahora, tu hipótesis te da , con lo que tienes una contradicción con tu hipótesis de  , y eso implica  .

Me quedó muy claro. Muchas gracias. Para que se entienda cómo es que nos enseñan a hacer las derivaciones, hice un GIF animado para que se vea el proceso de construcción del árbol y no solamente el resultado final. El mismo razonamiento de Carlos sería así:



Dos observaciones:

-RAA significa reducción al absurdo.
-Cuando se cancela una hipótesis, el software simplemente la tacha en rojo pero no muestra el número de la regla correspondiente con la cual se cancela. En cambio sí figura en la lista de hipótesis "disponibles". Por ejemplo, la primer vez que se cancela ¬a en la lista de hipótesis aparece ¬a [1] que significa que ese ¬a proviene de la reducción al absurdo que se hizo al principio y que está indicada con el subíndice 1.



Muchas gracias, specu. Ahora ya estoy cansado, pero cuando pueda voy a pasar árbol también esta demostración para que notes la similitud.

En cuanto a:




He decidido practicar más con deducción natural en lógica proposicional y luego sí voy a pasar a lógica de primer orden. Cuando esté con derivaciones en lógica de predicados, ya comentaré tu mensaje. Muchísimas gracias.

Jeje, no sé por qué hice semejante rodeo.
La demostración de podía ser más corta. A saber:




No sé si leíste el mensaje de Carlos Ivorra, pero es exactamente la misma demostración que hizo él.

¿Hay demostración sin E.F.S.Q.?

Supongo que E.F.S.Q. es lo que has llamado ex falso sequitur quodlibet y que yo llamo eliminación de bottom y represento por (o sea, a partir del absurdo puedo concluir cualquier cosa). Si es así, sí la hay. Basta sustituirla por RAA (nos sobraría una hipótesis en ese caso, que es pero a efectos de la derivación sería lo mismo).

Saludos a los dos.

* PruebaIvorra2.gif (169.68 KB - descargado 770 veces.)
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« Respuesta #11 : 15/07/2012, 08:18:24 am »

Quedaba pendiente éste:

2)

Creo que es más práctico darte las ideas para que tú mismo acabes de formalizarlo, en lugar de darte una deducción formal. En parte porque así practicas un poco y en parte porque posiblemente la forma en que yo lo formalice no será exactamente la misma que tú necesitas, con lo que pierdes menos tiempo formalizando a partir de la idea que captando la idea a partir de mi formalización para luego formalizándola a tu manera.

Partes de la hipótesis

 

De aquí tienes que separar la conjunción en dos y, con algún criterio, eliminar los cuantificadores, hasta llegar a

y por otra parte

Ahora supón, por reducción al absurdo, . (No sé si la comita que has puesto en significa algo o es una errata. Yo hago como si no estuviera.)

Alguna regla relacionada con el igualador te tiene que llevar a



y también tienes que tener reglas que a partir de y te lleven a una contradicción (en el fondo se trata de las leyes de DeMorgan).

Con esto la reducción al absurdo te permite concluir que  .

Por último, a partir de aquí tienes que poder introducir particularizadores: .

He cambiado la z por w porque así aparece en el enunciado. En general, al introducir particularizadores tienes que poder cambiar cualquier término por una variable "nueva" (que no haya aparecido antes).

Si no ves cómo formalizar algún paso dilo y lo vemos más a fondo.



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« Respuesta #12 : 16/07/2012, 04:18:03 pm »

Muchas gracias, Carlos. Capaz que hoy de noche si me da el tiempo ya me pongo a analizar ese ejercicio. Ahora estaba viendo las reglas que se añaden para lógica de primer orden. Quiero entenderlas bien antes de ponerme a practicar.

Antes, en lógica proposicional se tenía la siguiente definición inductiva para las derivaciones:



Eso lo entiendo y no tengo ningún problema. Ahora para lógica de primer orden se mantienen todas las mismas reglas y se añaden nuevas para los cuantificadores y (y para la igualdad, pero no quiero entrar en eso todavía).

Adjunto un pdf con esas nuevas reglas que se añaden (11_12_PredDeduccionNatural.pdf). Mi duda está en las restricciones que se piden para los cuantificadores. Cada vez que aplicamos una regla que involucra a un cuantificador, nos exigen poner un asterisco (o algún tipo de referencia) para después abajo de la derivación hacer la justificación que corresponda. En el pdf dice que sin las restricciones, las reglas dadas permitirían construir derivaciones para razonamientos incorrectos. Y pone dos ejemplos. Pero aún así no me queda del todo clara esa parte :indeciso:. ¿Me lo podrían explicar?

Muchas gracias, y saludos.

P.D.

Para 2) también necesitás introducción y eliminación del existencial. PAreciera que necesitás también reglas para manejar la igualdad ¿es así? ¿cuáles son?

Así es, specu. Las reglas para la igualdad están en el archivo 12_12_PredIdentidad.pdf que adjunto.

Además ¿significa algo el apóstrofe o es una errata?

(No sé si la comita que has puesto en significa algo o es una errata. Yo hago como si no estuviera.)

Ups, disculpen que no aclaré ese punto antes. No le den importancia. Simplemente usan una comita para distinguir el del lenguaje formal de la lógica de predicados, del del metalenguaje. El símbolo es del lenguaje formal, mientras que no. De la misma manera, para los cuantificadores usan y (es decir, colocan una barra encima) para distinguirlos de los símbolos y que se reservan para el lenguaje (así llaman al lenguaje de la lógica de predicados). Pero no es más que una convención que se decidió adoptar en el curso.

* prueba5.png (204.92 KB - descargado 3997 veces.)
* 11_12_PredDeduccionNatural.pdf (35.35 KB - descargado 203 veces.)
* 12_12_PredIdentidad.pdf (22.66 KB - descargado 49 veces.)
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« Respuesta #13 : 16/07/2012, 06:33:49 pm »

Adjunto un pdf con esas nuevas reglas que se añaden (11_12_PredDeduccionNatural.pdf). Mi duda está en las restricciones que se piden para los cuantificadores. Cada vez que aplicamos una regla que involucra a un cuantificador, nos exigen poner un asterisco (o algún tipo de referencia) para después abajo de la derivación hacer la justificación que corresponda. En el pdf dice que sin las restricciones, las reglas dadas permitirían construir derivaciones para razonamientos incorrectos. Y pone dos ejemplos. Pero aún así no me queda del todo clara esa parte :indeciso:. ¿Me lo podrían explicar?

Esas condiciones formalizan restricciones que aplicas poco menos que inconscientemente cuando razonas "de verdad". Por ejemplo, para eliminar un cuantificador existencial te exigen que la variable x ligada por el cuantificador no esté libre ni en las hipótesis que supones hasta el momento ni en la consecuencia a la que llegues.

Eso lo haces tú todos los días: si tienes que y, por otra parte, tienes que , tú quitas normalmente el cuantificador diciendo "tomemos un x que cumpla , pero no lo harías como yo lo estoy haciendo aquí, sino que dirías: pero ojo, no podemos llamar x a ese número real, porque ya estamos llamando x a otra cosa, a saber, a un cierto número entero. Si siguieras adelante sin tener esto en cuenta, llegarías a que , lo cual es una contradicción, una contradicción que no viene de tus hipótesis, sino de haber llamado x a dos cosas distintas, al número del que ya estabas hablando, y el que resulta de eliminar el cuantificador.

Lo correcto, si en una demostración ya estás tratando con un y quieres eliminar el cuantificador en , es decir "tomemos un y tal que , donde y es una variable nueva.

En tu sistema deductivo, si ya estás usando x y quieres eliminar el cuantificador de , tienes que usar que , lo cual se demuestra suponiendo , pasando a y de ahí a , todo aplicando directamente tus reglas.

Entonces, una vez tienes , donde y es una variable nueva, ya puedes eliminar el cuantificador y escribir sin violar la condición de que la variable y no esté libre en tus hipótesis.

La otra condición, a saber, que la variable liberada del cuantificador no esté libre en la conclusión, es necesaria porque, en principio, una variable libre puede ligarse con un "para todo", pero eso no sería legítimo si la variable está libre porque le has quitado un "existe" de delante.

Por ejemplo, si partimos de (sin más hipótesis donde x pudiera estar libre), de ahí puedo pasar legítimamente a tomar un x tal que , pero esto mismo no es válido como consecuencia lógica de mi premisa, pues, si lo fuera, como x no está libre en mi hipótesis, podría aplicar la regla de introducción del "para todo" y concluir que , lo cual es absurdo: cuando razonas "de verdad" siempre tienes en la memoria si un x del que hablas es un x arbitrario o, por el contrario, es un x concreto que has escogido entre los que cumplen algo (proviene de eliminar un "existe"). Cuando tienes un x del segundo tipo, para acabar la demostración tienes que volverlo a ligar con un "existe", pues si no lo ligas de ningún modo sería legítimo entender que puede ligarse con un "para todo", y eso no sería correcto.

Volviendo al ejemplo: si partes de , puedes pasar a . Esto es correcto, pero lo que has escrito NO es una consecuencia de tu premisa. De ahí puedes a su vez seguir razonando y llegar, por ejemplo, a , lo cual será correcto, pero esto NO es consecuencia de tu premisa, porque la x no puede estar libre en ninguna consecuencia desde el momento en que has quitado el "existe". Ahora bien, de ahí puedes pasar a y esto SÍ que es consecuencia de tu premisa, porque ahora x no está libre en ella.

En otras palabras, si le quitas un "existe" a una variable, tienes que comprometerte a volvérselo a poner al final, si es que x aparece en la conclusión de tu razonamiento. (Si no aparece, pues nada.) De no hacerlo así, otro podría continuar tu razonamiento poniéndole un "para todo" a tu x, y eso sería incorrecto.


Con la condición para introducir un "para todo" pasa lo mismo. Imagina que parto de . De ahí puedo pasar a , pero esto pasa a ser una hipótesis no cancelada de una subdeducción. En esas condiciones, no puedo pasar a . Con ello, de la existencia de un número entero pasaría a deducir que todo x es un número entero, lo cual es falso. Para introducir un "para todo" sobre una variable x, es necesario que la variable x no tenga una hipótesis de partida ni en particular que provenga de haber eliminado un "existe".

No hay problema, en cambio, si proviene de eliminar un "para todo".

Por ejemplo, si tenemos que , de aquí puedes poner justo debajo. Esto no es la hipótesis de una subdeducción, por lo que x no está como variable libre en ninguna hipótesis no cancelada y puedes volver a ligarla con un "para todo" cuando quieras.

Si, por ejemplo, supones y a partir de ahí deduces , en este momento no puedes pasar a , porque la x está como variable libre en la hipótesis no cancelada , y, en efecto, no puedes afirmar que todo x es un número complejo, pero puedes cancelar la hipótesis escribiendo , con lo que ahora x ya vuelve a ser arbitrario. El x que cumple no es un x arbitrario, sino un x con la condición particular . En cambio, el x que cumple sí que es un x arbitrario (esa afirmación la cumple todo x del universo), y formalmente eso se refleja en que x no está libre en ninguna hipótesis no cancelada. Por eso, ahora sí que puedes cuantificar y concluir .


No sé si me explico.
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« Respuesta #14 : 17/07/2012, 12:17:34 am »

Cita
No sé si me explico.

Muy clara la explicación, por cierto, muchas gracias Carlos Ivorra.

Creo que faltaría el modo de derivar una contradicción suponiendo y y la derivación sin ex falso sequitur quodlibet de (al menos no la encontré). Ahora no tengo tiempo, después las voy a seguir buscando (una cuestión interesante sería cómo demostrar que una fórmula es indemostrable prescindiendo de tal o cual regla, no creen?).

pabloN, leí el PDF, y copio acá mismo las reglas concernientes a la igualdad que hacían falta para el segundo ejercicio de cálculo de predicados:



si y están libres para en

Saludos
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« Respuesta #15 : 18/07/2012, 03:09:19 pm »

No sé si me explico.

Muchísimas gracias, Carlos. Excelente explicación. Era justo lo que necesitaba. Con ejemplos "concretos" se entiende mucho mejor. Lo que pasa es que de acuerdo a las diapositivas de sintaxis



la estructura donde es la aplicación tiene tipo de simililaridad (el universo es ). Considerando el lenguaje inducido por dicho tipo de similaridad, para decir habría que escribir y la sentencia sería (eso si se tiene en cuenta las reglas que flexibilizan la parentización, de lo contrario la fórmula sería más extensa aún). Los ejemplos que nos pusieron fueron todos así, referidos a un determinado tipo de similaridad asociado a una estructura abstracta. Es muchísimo mejor (me parece a mí) ver ejemplos "concretos" como los que tú me mostrastes en tu post anterior (al menos para fijar ideas). El mismo ejemplo que pusiste yo creo que hubiese sido muchísimo menos claro en términos de y que en términos de y . De esa manera, uno no se pierde en tanto formalismo y es capaz de entender las ideas intuitivas que justifican el por qué de ciertas reglas. Y así con los demás ejemplos que diste, que por cierto, me vinieron genial. ¡Gracias por hacérmelo ver!

pabloN, leí el PDF, y copio acá mismo las reglas concernientes a la igualdad que hacían falta para el segundo ejercicio de cálculo de predicados:



si y están libres para en

Muchas gracias, specu. Agradezco mucho tu ayuda y tu preocupación.

(una cuestión interesante sería cómo demostrar que una fórmula es indemostrable prescindiendo de tal o cual regla, no creen?)

Sí, es verdad. Por ejemplo, mi profesor de lógica nos comentó que no puede demostrarse sin la regla de reducción al absurdo. Y citó otros ejemplos (de fórmulas indemostrables prescindiendo de tal o cual regla), pero no nos dio ninguna explicación al respecto. Es como cuando en cálculo te dicen no puede expresarse en término de funciones elementales, pero nadie da una justificación de por qué esto es así. Sé que Carlos escribió un pdf sobre este último tema, pero no tengo ahora los conocimientos para entenderle  :sonrisa_amplia:. Cuando los tenga, seguro que trataré de leerlo.

¡Un saludo!

* SintaxisFORM2.png (170.68 KB - descargado 477 veces.)
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« Respuesta #16 : 18/07/2012, 09:07:22 pm »

Lo que pasa es que de acuerdo a las diapositivas de sintaxis [...] la estructura donde es la aplicación tiene tipo de simililaridad (el universo es ). Considerando el lenguaje inducido por dicho tipo de similaridad, para decir habría que escribir y la sentencia sería (eso si se tiene en cuenta las reglas que flexibilizan la parentización, de lo contrario la fórmula sería más extensa aún). Los ejemplos que nos pusieron fueron todos así, referidos a un determinado tipo de similaridad asociado a una estructura abstracta. Es muchísimo mejor (me parece a mí) ver ejemplos "concretos" como los que tú me mostrastes en tu post anterior (al menos para fijar ideas). El mismo ejemplo que pusiste yo creo que hubiese sido muchísimo menos claro en términos de y que en términos de y .

Todo lo que dices es correcto, pero creo interesante hacerte notar que los hechos a los que te refieres no son imprescindibles para nada de lo que aquí estamos tratando:

Una de las cualidades más importantes de la lógica formal es que puedes definir un lenguaje formal y hacer deducciones en él sin necesidad de fijar un modelo (o una estructura, como tú dices) asociado a dicho lenguaje.

Yo use unas fórmulas de ejemplo y tú has presentado una estructura que basta para interpretar esas fórmulas y, como ya digo, todo lo que dices es correcto, pero no necesitas ninguna estructura para dar sentido a lo que yo decía (para darle sentido como ejemplo de deducciones válidas y no válidas, porque precisamente las estructuras son lo que se necesita para dar sentido a las afirmaciones de un lenguaje formal, en el sentido de asignarles un valor de verdad, pero no me refiero a eso).

En realidad yo no estaba pensando en la estructura que tú propones, ni en ninguna otra en particular (ni falta que hacía). Implícitamente, estaba usando el lenguaje formal de la teoría de conjuntos (que es el que tú usas implícitamente en cualquier demostración matemática que haces en cualquier contexto que no sea el de tu asignatura de lógica), cuyo único signo no lógico es el relator de pertenencia , de modo que todos los demás, como etc. pueden introducirse mediante definiciones (en la práctica, axiomas que dicen "por definición, pertenecer a es cumplir tal propiedad", etc.

Construir una estructura para este lenguaje formal no es fácil. De hecho, es imposible demostrar que existe una estructura de este lenguaje en el que sean verdaderos los axiomas de la teoría de conjuntos, pero eso es otra historia que, en cualquier caso, no afecta a lo que hablamos.
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