Sucesion de funciones en un espacio completo

[vguitarra]

Sea una sucesión de funciones contínuas de un espacio métrico completo M en tal que existe . Sea

- Probar que existe un abierto no vacío y tales que y

- Sea > 0. Probar que existe un abierto no vacío y un entero tal que si y

[Tanius]

Si es fijo, observa que de la igualdad se tendrá que la sucesión es acotada. Dicho de otra forma, para cada existirá tal que para cada .

¿Te suena ahora un clásico teorema, llamado de acotación uniforme (o Banach-Steinhaus)?

Un saludo 

[vguitarra]

Muy bien, gracias! No tengo presente ese teorema pero lo voy a buscar. Saludos!

[Tanius]

Igual no es tan difícil de demostrar. La condición que escribí en mi anterior post es que la familia es equiacotada puntualmente. Y lo que te pide tu primer problema es demostrar que si es completo entonces existe un abierto no vacío en el que dicha familia de funciones es equiacotada uniformemente.

Efectivamente, para fijo, considera .

Claramente cada es cerrado, porque cada es continua.

Del hecho de que es equiacotada puntualmente, se sigue fácilmente que . Siendo de segunda categería, existirá un con interior no vacío. Ése es tu abierto que estamos buscando.

Respecto a tu segundo problema, lo que nos está pidiendo demostrar es que converge uniformemente a en . De esto ya no me acuerdo, pero creo que convergencia puntual + equiacotación uniforme implica convergencia uniforme, habría que checar si eso es cierto, no estoy seguro.

Un saludo