Hola, ¿ Cómo están?
Tengo una duda con respecto a un ejercicio de un examen de Análisis Matemático 2:
Tengo que calcular el trozo de área del plano
cuyos puntos cumplen con
.
El plano corta a los ejes:
x=2
y=6
z=3
En este ejercicio se pretende que uno calcule el área con integral doble y coseno director por medio de la componente del gradiente de la superfici dividida su norma.
Elijo proyectar sobre el plano XY, el gradiente es
es decir que mi integrando queda
Me queda un plano alabeado, como si fuera una tabla "apoyada contra la pared" y un poco torcido, la verdad que es un poco dificil dibujarlo como para ver los limites de integracion o proyectarlo, pero me doy cuenta que llega a cortar todo el cilindro
, ya sea una porcion con Z > 0 y otro poco por debajo de 0.
En definitiva queda definida una region cuando el plano "pasa por adentro" del cilindro que sería una elipse.
Parece un poco dificil sacar el área de ésta elipse viéndola en un plano alabeado, en la resolución del examen el profesor proyecta sobre el plano XY y usando coordenadas polares integra la cirunferencia
, es decir hace:
=
.
Mi duda es: ¿ Una elipse en las condiciones que mencione anteriormente, producto de la intersección de un cilindro y un plano alabeado, al ser proyectado en un plano coordenado me queda una circunferencia? ¿ O hay algo que me perdí?
Muchas gracias,
Saludos.
