¿una prueba para la cuarta potencia?

[feriva]

No Feriva. Míratelo bien.
Distingo entre:
Quizá no me he explicado bien.

Quiero decir que:
Un cordial saludo.

Hola, mente oscura. Sí, creí que decías otra cosa. (de todas formas no termino de ver que sea necesario que pase eso, aunque es muy de noche y veo aún peor que de día; no lo niego, sólo es que no acabo de ver la justificación. O sea, por hipótesis es un cuadrado, de acuerdo, pero no sé de dónde sale que tenga que serlo necesariamente , hay algún paso que me he perdido, por las letras o lo que sea )

 Un cordial saludo y buenas noches.

[el_manco]

Hola

Hola El_manco.
Me has echado "un jarro de agua fría".
No sé si no has examinado a fondo mi exposición, o es que yo soy muy torpe  :banghead
Siempre que alguien me remite a algún "enlace", acudo raudo a visitarlo.
Me dices que "son cosas que esencialmente se saben", y me parece bien, pero los enlaces que me has puesto no tienen nada que ver con mis razonamientos. Sólo se parecen:
1) Parten de ternas pitagóricas.
2) Utilizan un "m" y un "n".
Mi "m" y "n", humildemente, creo que no son asimilables a los de los enlaces.
En cuanto a la conclusión, quizá me he saltado algún paso, que consideraba evidente.

La idea del enlace es exactamente la misma. La única diferencia es que en el enlace se seapara el término par y tu separas el impar. Esciribiendo:



se deduce que y son dos factores de una descomposición de . Del hecho de que la terna pitagórica sea primitiva, es decir, con sus términos coprimos, se puede probar fácilmente que:

- Si es impar con coprimos de manera que y

- Si es par, entonces con coprimos y uno de ellos par, de manera que y .

La única diferencia entre los dos casos es que en el segundo, la paridad de hace aparece el factor . Esto justifica mi afirmación de que las ideas son "esencialmente conocidas".

Si consideramos:

Tendríamos:

Para que se cumpliese que:

sería necesario:
1) ...
o
2) ...

Esto es lo que no veo claro. ¿Por qué afirmas que la opción (2) necesariamente contradice la coprimalidad de ?. Podrías tener y con coprimos, de manera que .

En cuanto a mi "maquinita", no pretendo que sea tramposa, me conformo con que funcione (que funciona )

No estoy seguro de que hayas entendido el sentido de mi comentario. Con tramposa no me refiero a que no funcione o de resultados falsos. No. Todo lo contrario. Lo que digo simplemente es que un listado de pulcros y correctísimos ejemplos no es una demostración.

En otros casos los listados de ejemplos, sin embargo pueden dar pistas de como hacer la demostración; lo que yo afirmo (en base a mi experiencia en este foro) es que en el caso del UTF suele ser complicado (como lo es el propio teorema) convertir los ejemplos en verdaderas demostraciones.

Saludos.

[mente oscura]

No Feriva. Míratelo bien.
Distingo entre:
Quizá no me he explicado bien.

Quiero decir que:
Un cordial saludo.

Hola, mente oscura. Sí, creí que decías otra cosa. (de todas formas no termino de ver que sea necesario que pase eso, aunque es muy de noche y veo aún peor que de día; no lo niego, sólo es que no acabo de ver la justificación. O sea, por hipótesis es un cuadrado, de acuerdo, pero no sé de dónde sale que tenga que serlo necesariamente , hay algún paso que me he perdido, por las letras o lo que sea )

 Un cordial saludo y buenas noches.

Hola feriva. Gracias por tu interés.
Ya expuse, anteriormente, que era una conjetura mía (que no sé si habrá sido demostrada), y me he basado en la observación de muchos datos.
Adjunto, subo un fichero con algunas de las pruebas de ternas, donde se observa la afirmación que hice.

Un cordial saludo.

[feriva]

Hola, mente oscura. De todas formas, en mi opinión, eso que afirmas hay que justificarlo, hay que llegar ello, no por el hecho de que

 

se puede afirmar sin más ilustración que y  es un cuadrado. Para mí no resulta tan inmediato.

 Aquí, en un debate que tuve con racedom, expuse los razonamientos para llegar a las igualdades de las ternas (razonamientos que no son míos, claro, sólo los explicaba):

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,57267.msg228558.html#msg228558

Saludos.

[feriva]

No Feriva. Míratelo bien.
Distingo entre:
Quizá no me he explicado bien.

Quiero decir que:
Un cordial saludo.

Hola, mente oscura. Sí, creí que decías otra cosa. (de todas formas no termino de ver que sea necesario que pase eso, aunque es muy de noche y veo aún peor que de día; no lo niego, sólo es que no acabo de ver la justificación. O sea, por hipótesis es un cuadrado, de acuerdo, pero no sé de dónde sale que tenga que serlo necesariamente , hay algún paso que me he perdido, por las letras o lo que sea )

 Un cordial saludo y buenas noches.

Hola feriva. Gracias por tu interés.
Ya expuse, anteriormente, que era una conjetura mía (que no sé si habrá sido demostrada), y me he basado en la observación de muchos datos.
Adjunto, subo un fichero con algunas de las pruebas de ternas, donde se observa la afirmación que hice.

Un cordial saludo.

Gracias, luego lo miraré en un portátil antiguo que anda por ahí, porque en este ordenador tengo Linux y no me abre ese tipo de archivos.

Otro saludo.

[feriva]

Aquí, en el ejemplo del tercer párrafo, tienes la demostración que requiere esa afirmación

http://gaussianos.com/descenso-infinito-un-metodo-de-demostracion-poco-conocido/

(es cortita y se puede demostrar de otras formas cortitas también, pero la necesita).

Saludos.

[mente oscura]

Hola




La idea del enlace es exactamente la misma. La única diferencia es que en el enlace se seapara el término par y tu separas el impar. Esciribiendo:



se deduce que y son dos factores de una descomposición de . Del hecho de que la terna pitagórica sea primitiva, es decir, con sus términos coprimos, se puede probar fácilmente que:

- Si es impar con coprimos de manera que y

- Si es par, entonces con coprimos y uno de ellos par, de manera que y .

La única diferencia entre los dos casos es que en el segundo, la paridad de hace aparece el factor . Esto justifica mi afirmación de que las ideas son "esencialmente conocidas".

OK, "mil" perdones

Esto es lo que no veo claro. ¿Por qué afirmas que la opción (2) necesariamente contradice la coprimalidad de ?. Podrías tener y con coprimos, de manera que .

Este caso, que expones, creo que no es posible.
Lo que he expuesto lo he "sacado" de un estudio de mis famosas "cadencias" y "distancias".
La cadencia de los cuadrados de dos impares, viene definido por el polinomio:

Nota: este "n" es el número de orden: 1, 2, ...
Si como dices:


Parto de mi polinomio:




Vemos que nos estorbaría  una raiz de 2. No puede ser entero el resultado.
Un cordial saludo.

[el_manco]

Hola

Este caso, que expones, creo que no es posible.
Lo que he expuesto lo he "sacado" de un estudio de mis famosas "cadencias" y "distancias".
La cadencia de los cuadrados de dos impares, viene definido por el polinomio:

Nota: este "n" es el número de orden: 1, 2, ...
Si como dices:


Parto de mi polinomio:




Vemos que nos estorbaría  una raiz de 2. No puede ser entero el resultado.

No. Ese argumento no es correcto. podría ser igual a , con entero de manera que el producto que indicas si es entero.

Observa por cierto que has modificado  la notación, intercambiando los papeles de y . No tiene mayor importancia en este caso , pero es bueno intentar mantener un criterio fijo para evitar confusiones.

Volviendo a tu argumento, de hecho parece que estás intentando probar que la diferencia de dos cuadrados no puede ser una cuarta potencia. Pero esto no es así. Si puede serlo:



Es más, con tu propia construcción dando valores con coprimos obtendrás siempre números



verficando:



Lo que no es cierto claro, es que además se cumpla que para , enteros. Pero no has dado ningún argumento para justificar esta imposibilidad (en otro caso indícalo).

Saludos.

[mente oscura]

Perdonad que no os pueda responder correctamente, es que estoy de viaje.
Tienes razón El_manco, he equivocado las anotaciones.
Vuelvo a:
a=impar, b=impar, c=par

Seguiré investigando luego.
Un cordial saludo.

[mente oscura]

Hola Feriva y El_manco, y demás, gracias por los enlaces. Lo del descenso infinito, me lo tengo que "trabajar" antes de poder "digerirlo". Me pondré a ello.
Ya os habréis dado cuenta del gran problema que tengo para expresarme matemáticamente. Casi siempre, en mis exposiciones tengo errores de bulto y erratas.
Voy a intentar exponer "mis descubrimientos" (ya estarían descubiertos algunos, pero, para mí son nuevos).
Primero enumerar las propiedades "observadas" en las ternas pitagóricas. Alguna veo que sería de fácil demostración, pero otras .
Sea

Con a y b: impares enteros, c: par
Propiedades "observadas":
1º) ...
2º) ...
3º) ...
4º) ...
Este "n" es el término de la sucesión (basada en "recurrencias"), que he hallado, referente a las diferencias entre los cuadrados de dos enteros impares.
5º) El anterior "n" siempre es el cuadrado de un entero en las ternas primitivas; pero no siempre un cuadrado de entero "devuelve" una terna primitiva.
6º) "n" representa la "distancia" de impares, entre impares de la terna.
Me explico: en la terna (9, 40, 41). Del 9 al 41 hay 16 impares: 11, 13, 15, 17, ...
7º) Del punto anterior se deduce que:



8º) , en ternas primitivas.
9º) , en ternas primitivas.

Basándome en todo esto, es dónde veo "la raíz de 2" que estorba y que:

Dentro de un rato podré seguir.
Un cordial saludo.

[mente oscura]

Partimos de:

Si pudiese ser:

Nos resultaría la terna:



Por la propiedades 5 y 6 del post anterior:

Como n es un cuadrado, entonces 2(a+b) es otro cuadrado.

Por ello y las propiedades 8 y 9 del post anterior:
, siendo k=impar
, siendo k=impar
, siendo k=impar
Luego, el producto de los tres factores es múltiplo de : ...
.. No resistiría ni una raíz cuadrada.
Por tanto,

Un cordial saludo.

[el_manco]

Hola

 Antes de nada señalo el error, o el punto sin justificar de tu argumento:

Por la propiedades 5 y 6 del post anterior:

Como n es un cuadrado, entonces 2(a+b) es otro cuadrado.

Por ello y las propiedades 8 y 9 del post anterior:
, siendo k=impar
, siendo k=impar
, siendo k=impar

1) Para afimar que tiene como factor con impar, no hace falta usar más que son impares. Y de hecho . Basta tener en cuenta que si son impares entonces:



 2) Y el punto clave. No veo en que te basas o como justificas la afirmación de que tanto , como tengan el factor con potencia impar: debes de dar una justificación. Llamando una vez , observa que:



 de manera siendo la mayor potencia de que divide a , lo que se tiene es lo siguiente:

  con impar

 2.1) Si , entonces múltiplo al menos de (pero no sabemos cual es la mayor potencia de dos que lo divide).

 2.2) Si (puede ser par), entonces de manera que la mayor potencia de dos que lo divide es .

Saludos.

[mente oscura]

Hola El_manco.
Gracias por tu ayuda.
En cuanto a lo que me pides:
De la propiedad nº 7:

Al ser n un cuadrado, no queda más remedio que "a-b" sea un múltiplo de:
, con k=impar
Por otra parte, como

Si "a-b" es múltplo de: , con k=impar, también lo debe ser "a+b" para que la raíz cuadrada sea entera.
Un cordial saludo.

[el_manco]

Hola

 En cuanto a las propiedades que apuntas de las ternas pitagóricas.

 Supongamos , con impares y par.

 Entonces:

 A) con coprimos impares y (tus propiedades 1,2,3).

Spoiler: Prueba (click para mostrar u ocultar)

 De la igualdad inicial se tiene:

 

 Por tanto con .

 Por ser impar son impares.

 Por ser coprimos son  coprimos ya que si fuese un factor primo común, dado que:



  sería factor primo común de .

 Finalmente por ser coprimos y se tiene que .

 B) , con coprimos, sólo uno de ellos par y .

Spoiler: Prueba (click para mostrar u ocultar)

 De la igualdad inicial se tiene:

 

 Por tanto con .

 Por ser coprimos tienen como único factor común posible el ya que si fuese un factor primo común o con , dado que:

   (*)

  sería factor común de .

 Además como es par necesariamente es factor común de (por las igualdades (*) no puede serlo de uno solo).

 Finalmente y como consecuencia de que , podemos escribir:



 con coprimos y sólo uno de ellos par.

 C) De (B) se deducen tus propiedades (tomando ):









Saludos.

[el_manco]

Hola

Hola El_manco.
Gracias por tu ayuda.
En cuanto a lo que me pides:
De la propiedad nº 7:

Al ser n un cuadrado, no queda más remedio que "a-b" sea un múltiplo de:
, con k=impar
Por otra parte, como

Si "a-b" es múltplo de: , con k=impar, también lo debe ser "a+b" para que la raíz cuadrada sea entera.
Un cordial saludo.

Pero estás confundiendo con . Recuerda que . De hecho como bien dices tiene como mayor potencia de que lo divide una potencia impar. Por tanto y dado que:

 

 necesariamente tienen como mayor potencia de dos que la divide uno par y otra impar.

Saludos.

[mente oscura]

Sí, tienes razón, me he hecho con la "esa" un lío
A ver si rizando el rizo:
En un post de la primera página, llegué a la conclusión:
"Luego, sólo hay que centrarse en el caso de las sumas acabadas en 1 (es decir, "b" es múltiplo de 5).
En resumen: "a" es impar y "b" múltiplo de 5."
Partimos (por enésima vez )de:

Si pudiese ser:

Nos resultaría la terna:


Basándome en la propiedad 9:



Y siendo "y"=múltiplo de 5.
La expresión: ... , sólo genera resultados acabados en: 3, 5 y 7.
Descartando los acabados en 5, porque se podría reducir la terna, no hay número impar, que al cuadrado, acabe en 3 ó 7, Luego "x" no existe.
Espero, que ahora sí
Un cordial saludo.

[feriva]

Hola Feriva y El_manco, y demás, gracias por los enlaces. Lo del descenso infinito, me lo tengo que "trabajar" antes de poder "digerirlo". Me pondré a ello.

Hola, mente oscura. He estado mirando un poco todo el hilo -aunque con el calor tengo la cabeza como un bombo- y tu forma de buscar resultados, atendiendo a las multiplicidades de las últimas cifras y demás, me parece buena. Quizá llegues a encontrar una demostración alternativa (el_manco dirá) pero date cuenta de que, llegado ese caso y por lo que llevas analizado, va a resultar una demostración más larga y complicada que la existente a partir del descenso al infinito; aunque también, sin duda, no por ello dejaría de ser muy interesante, ya que estas cosas no son nada fáciles y cuantos más análisis y demostraciones se consigan, mucho mejor.

 Un saludo cordial.

[mente oscura]

Gracias otra vez por vuestro interés. Estoy disfrutando mucho con estos temas.
Repasando mis estudios realizados, y mis "penosas" intervenciones  , hay algo que me obsesiona y no acabo de saber explicar.
Ahora que he vuelto del corto viaje, lo voy a exponer, aunque pueda ser una "metedura de pata".
Una terna primitiva, no puede coincidir con otra en dos de sus componentes. Es decir:
(a,b,c) y (a, b, d) no pueden ser a la vez ternas pitagóricas.
Sea

Con a y b: impares enteros, c: par
De las propiedades:
1º) ...
2º) ...
Si consideramos el cambio:

Tendríamos:


Serian dos ternas, con dos elementos iguales. Absurdo.
Un cordial saludo.

[mente oscura]

Imagino, que me pediréis justificación a esta afirmación:
"Una terna primitiva, no puede coincidir con otra en dos de sus componentes. Es decir:
(a,b,c) y (a, d, c) no pueden ser a la vez ternas pitagóricas."
Supongamos dos ternas:

Con a, b, d = impares; c=par   y d>a
Por mi propiedad nº 4 tendremos:




Absurdo.
Un cordial saludo.

[mente oscura]

Hola.
He conseguido (creo  ) una fórmula mucho mejor para hallar ternas pitagóricas (todas).
Os "subo" la correspondiente "maquinita".
Funcionamiento:
Hay que introducir datos en las casillas A1 y A2.
1) Si introducimos dos números pares, nos resultarán ternas "compuestas" pares.
2) Si introducimos dos números impares "coprimos" nos resultarán ternas primitivas.
3) Si A1=1, nos resultarán las ternas primitivas "límite" de distancia entre impares.
4) Si introducimos dos números impares "no coprimos" nos resultarán ternas "compuestas".
Espero que os guste.
Un cordial saludo.