¿una prueba para la cuarta potencia?

[mente oscura]

Hola.
Ante todo, os pido perdón por mi ignorancia sobre el tema, que no quiere decir que no me guste el desafío que esconde.
He creído entender que, se pretende demostrar:

De aquí creo deducir que:

Un cordial saludo.

[el_manco]

Hola

 ¿Como deduces de:

 

 que:

 ?.

 Ojo, porque no implica . Por ejemplo:



Saludos.

[mente oscura]

Tienes razón El_manco, pero yo lo veo así:






Esto llevaría a:

, *

, *

Implicaría:



Cambiando  : , nótese que es par.



Se ha convertido en una terna pitagórica.
Si los tres términos son pares, serían reductibles.
Si los otros dos términos son impares, entraría en contradicción con *.
Perdona si mi empanada mental es muy gorda .
Un cordial saludo

[el_manco]

Hola

 De acuerdo con casi todo. Dos cosas:

 1) La más importante:  ¿qué problema hay en que los tres términos:



 sean pares?. Eso no contradice (en caso contrario indica la contradicción) ningún supuesto sobre la terna inicial

 2) Cuando escribes presupones que una descomposición sólo en dos factores. Pero podría haber más (sea como sea esto es secundario).

Saludos.

P.D. Por cierto, que además no acabo de ver la relación de tu último post con el primero.

[mente oscura]

Vuelves a tener razón El_manco.
Quizá, mi problema sea de "evidencia errónea". Algo me parece evidente (aunque esté equivocado), y me cuesta mucho expresar las ideas.
Mi falta de continuidad en los argumentos de mis intervenciones, es porque, al contestarme con "razones" poderosas, me hace dudar, y tengo que replantearme la respuesta.
Voy a probar de otra manera:



Caso 1º)
Implica que:
- b y c son pares. Se podría reducir la igualdad.
- b y c son impares. Las cuartas potencias de números impares, acaban en 1 ó 5 (más exactamente la terminaciones son: 01, 21, 41, 61, 81, 25); y la suma de las cuartas potencias de dos números impares, sólo pueden generar números acabados en: 02, 22, 42, 62 , 82, 06, 26, 46, 66, 86, 50.
Por otra parte, si decimos que a es par, la cuarta potencia de un número par debe ser divisible por 16.
Observemos que la suma de cuartas potencias de números impares, ni siquiera aguanta la divisibilidad por 4. Por tanto, "a" no puede ser par.

Caso 2º)
Supongamos que c es par (da igual que fuera b)
La suma de la cuarta potencia de un número par con la cuarta de un impar, genera números acabados en: 1, 5, 7. Como "a" es impar, sólo nos interesan los acabados en 1 ó 5.
Los acabados en 1 sólo se generan cuando el impar es múltiplo de 5.
Los acabados en 5 sólo se generan cuando el par y el impar son múltiplos de 5, que implicaría que "a" también sería múltiplo de 5 y, por tanto, la expresión inicial, reducible.
Luego, sólo hay que centrarse en el caso de las sumas acabadas en 1 (es decir, "b" es múltiplo de 5).
En resumen: "a" es impar y "b" múltiplo de 5.
Y aquí es donde estoy atascado, pero sigo en ello.
Un cordial saludo.

[el_manco]

Hola

Caso 1º)
Implica que:
- b y c son pares. Se podría reducir la igualdad.
- b y c son impares. Las cuartas potencias de números impares, acaban en 1 ó 5 (más exactamente la terminaciones son: 01, 21, 41, 61, 81, 25); y la suma de las cuartas potencias de dos números impares, sólo pueden generar números acabados en: 02, 22, 42, 62 , 82, 06, 26, 46, 66, 86, 50.
Por otra parte, si decimos que a es par, la cuarta potencia de un número par debe ser divisible por 16.
Observemos que la suma de cuartas potencias de números impares, ni siquiera aguanta la divisibilidad por 4. Por tanto, "a" no puede ser par.

Correcto. De hecho la suma de dos cuadrados impares nunca es un cuadrado par ya que:

para cualquier entero

Caso 2º)
Supongamos que c es par (da igual que fuera b)
La suma de la cuarta potencia de un número par con la cuarta de un impar, genera números acabados en: 1, 5, 7. Como "a" es impar, sólo nos interesan los acabados en 1 ó 5.
Los acabados en 1 sólo se generan cuando el impar es múltiplo de 5.

O cuando el paa acaba en cero y el impar no es múltiplo de cinco.

Los acabados en 5 sólo se generan cuando el par y el impar son múltiplos de 5, que implicaría que "a" también sería múltiplo de 5 y, por tanto, la expresión inicial, reducible.
Luego, sólo hay que centrarse en el caso de las sumas acabadas en 1 (es decir, "b" es múltiplo de 5).
En resumen: "a" es impar y "b" múltiplo de 5.
Y aquí es donde estoy atascado, pero sigo en ello.

De acuerdo (con el matiz anterior).

Saludos.

[mente oscura]

Hola

Caso 2º)
Supongamos que c es par (da igual que fuera b)
La suma de la cuarta potencia de un número par con la cuarta de un impar, genera números acabados en: 1, 5, 7. Como "a" es impar, sólo nos interesan los acabados en 1 ó 5.
Los acabados en 1 sólo se generan cuando el impar es múltiplo de 5.

O cuando el paa acaba en cero y el impar no es múltiplo de cinco.

Correcto.
"Devanándome los sesos" se me ha ocurrido una "idea peregrina":

Para no perdernos (más bien, no perderme yo ):, partimos de:

Llegué a la conclusión: "a" tendría que ser, obligatoriamente, impar:
Supongamos "b" impar:
Tenemos :
He estado investigando en la cadencia (diferencias) de la cuarta potencia de números impares.
Siguen la siguiente sucesión: 80, 544, 1776, 4160, 8080, 13920, ...
Comparo con la cadencia de la diferencia de impares a la cuarta potencia: : está inmersa en la misma sucesión.
Por último, vamos a "c". Para que "c" resulte entero, una condición necesaria (pero no suficiente) es que al hacer la raíz cuadrada de la diferencia de la cuarta potencia de "a" y "b" nos resulte entero.
Analizo, entonces, la cadencia de enteros al cuadrado: 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76, 84, ...
Observo, que las sucesiones de las cadencias son todas múltiplo de 8. Lo cúal implica que si no se consigue una intersección inicial, nunca se podrá conseguir. He resaltado en rojo el primer intento de intersección "fallido". De lo cúal deduzco que nunca podría existir dicha intersección.
Conclusión:
Si "a" y "b" son impares:

Un cordial saludo.

Edito: he resaltado en rojo, pero no lo veo en mi ordenador.
La intersección "fallida" es el 80 en la sucesión de "los impares" con 76 y 84 de los "pares".

[el_manco]

Hola

 Lo que haces es analizar la diferencia de del cuadrado de dos impares consecutivos:

 

 y la de dos cuadrados pares :



 Ciertamente ambas sucesiones no tienen elementos comunes, ya que en la primera todos son múltiplos de y en la segunda  ninguno.

 Estrictamente eso significa que:



 para cualesquiera valores de .

 Ahora no tengo claro que se supone que pretendes concluir de ahí.

 No veo de ninguna manera como deduces de eso que no existen enteros tales que:

 

Saludos.

[mente oscura]

Hola El_manco.
Un ejemplo de dos sucesiones.
2, 10, 18, 26, 34, (razón 8)
6, 14, 22, 30, 38, (razón 8)
Nunca tendrán elementos comunes.
Esta es la base de mi conclusión.
Las diferencias de cuartas potencias de impares son múltiplos de 8, y los pares al cuadrado, también son múltiplos de 8, pero están contrapeadas, como en el ejemplo anterior. Lo que concluye; que nunca podrá haber coincidencia.
Estoy investigando con potencias superiores, y parece que lleva un camino similar.
Un cordial saludo.
Perdón, se me olvidó un detalle: da igual que sean consecutivos o no, seguirán siendo diferencias múltiplos de 8, ¿o no?

[el_manco]

Hola

 Si los impares o pares no son consecutivos no es cierto que no puedan haber diferencias de potencias cuartas de impares y cuadrados de impares que coincidan.

 En general si tienes entonces puede descomponerse como diferencia del cuadrado de dos pares:

  con y

 En nuestro caso por ejemplo:



Saludos.

[mente oscura]

Perdona, como siempre, me he expresado mal. No es estoy hablando de diferencia de cuadrados de pares.

El primer miembro es diferencia de cuartas potencias de impares (razón múltiplo de 8)
El segundo miembro es un par (no diferencia de pares).
Los números pares elevados al cuadrado tienen "razón" múltiplo de 8.
Un cordial saludo.

[el_manco]

Hola

 Pero si hablas de la sucesión de cuadrados de pares, en primer lugar no es una progresión aritmética.

 En segundo lugar, sigo sin ver como se supone que garantizas que no existen números en las condiciones que indicas.

 Fíjate que la moraleja de mi post anterior, aunque no se refiriese exactamente a lo que tu afirmabas, es que el hecho de que dos sucesiones no tengan elementos comunes, no quiere decir que sumas de sus elementos si llegen al mismo número.

 (digo esto porque las diferencias entre cuadrados o cuartas potencias no consecuitvas se obtienen sumando diferencias entre cuafrados o cuartas potencias si consecutivas).

Saludos.

[mente oscura]

Cualquier diferencia entre cuartas potencias de números impares, tiene una "cadencia" que está definida en la sucesión:

La cadencia de los cuadrados de pares está definida por la sucesión:

Si igualamos, buscando un "n" común:

n=0,294877256: no entero. No puede haber coincidencias:

Ejemplo:

Valores:80, 624, 2400, 6560, 14640, 28560, 50624, 83520, 130320, 194480, 279840, 390624, ...
Cadencia:544, 1776, 4160, 8080, 13920, 22064, 32896, 46800, 64160, 85360, 110784


Valores: 544, 2320, 6480, 14560, 28480, 50544, 83440, 130240, 194400, 279760, 390544,  ...
Cadencia:1776, 4160, 8080, 13920, 22064, 32896, 46800, 64160, 85360, 110784
...

Números pares al cuadrado:

Valores: 4, 16, 36, 64, 100, 144, 196, 256, 324, 400, 484, ...
Cadencia:12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76, 84
Un cordial saludo.

[el_manco]

Hola

 Pero no tiene sentido (o yo no veo que conclusión se supone que sacas de ahí) que compares "cadencias" es decir "diferencias" entre cuartas potencias y "diferencias" entre cuadrados.

 Si tu quieres analizar la posibilidad de que existan enteros verificando:

 

 en todo caso deberías de comparar la diferencia de cuartas potencias con los cuadrados (no con sus diferencias).

 Por otra parte una vez más las sucesiones que listas son respectivamente diferencia de cuartas potencias impares y cuadrados pares consecutivos. Tu igualas las dos sucesiones para el mismo n; pero eso no quiere decir que no tengan términos comunes. Por ejemplo las sucesiones:




 tienen obviamente términos comunes y sin embargo la ecuación no tiene solución.

 Aun así es cierto que las sucesiones y no tienen términos comunes. El motivo o la prueba es otra. En la primera todos los términos son múltiplos de . En la segunda por ser de la forma nunca son múltiplos de .

 Pero creo que empezamos a dar vueltas en círculos sobre los mismos argumentos.

 Aun no has dejado claro, dese mi punto de vista, exactamente que argumento de los que expones justifica la no existencia de enteros con la paridad que indicas verificando:

 .

Saludos.

[mente oscura]

Hola. Perdonad que vuelva a la carga, pero sigo en el tema.
Voy a enfocarlo de distinta manera.
Partiré de las ternas pitagóricas.
Tenemos la ternas primitivas y las reducibles. Me centraré en las primeras.
No sé si ya estará demostrado lo que voy a exponer. Si no lo está, lo llamaré: “conjetura de rarar (o mente oscura) sobre ternas pitagóricas”.


Es necesario que se cumpla:



n_1 y n_2 han de ser coprimos necesariamente, si no:




Sería reducible.
Esto implica que si:

Un cordial saludo.

[feriva]

Es necesario que se cumpla:



n_1 y n_2 han de ser coprimos necesariamente, si no:




Sería reducible.
Esto implica que si:

Hola. Ahí estás tomando como condición inicial o sea







Saludos.
 

[mente oscura]

No Feriva. Míratelo bien.
Distingo entre:
Quizá no me he explicado bien.

Quiero decir que:
Un cordial saludo.

[mente oscura]

Con un ejemplo se verá mejor:
Sea la terna:
a= 17
b= 15
c= 8




Ya sabéis que me gustan las "maquinitas" , así que ya tengo preparada una sobre este tema. Si os interesa, la subo. Como siempre, "pesa poco".
Si con lo expuesto, en los pasados post, estoy en lo cierto, se podría por el mismo procedimiento ver una demostración total para:

Un cordial saludo.

[el_manco]

Hola

Hola. Perdonad que vuelva a la carga, pero sigo en el tema.
Voy a enfocarlo de distinta manera.
Partiré de las ternas pitagóricas.
Tenemos la ternas primitivas y las reducibles. Me centraré en las primeras.
No sé si ya estará demostrado lo que voy a exponer. Si no lo está, lo llamaré: “conjetura de rarar (o mente oscura) sobre ternas pitagóricas”.


Es necesario que se cumpla:



n_1 y n_2 han de ser coprimos necesariamente, si no:




Sería reducible.

De acuerdo en todo esto. Y son cosas que esencialmente ya se saben. Basta ver por ejemplo la wikipedia (no es exactamente lo mismo, pero si la misma idea):

http://es.wikipedia.org/wiki/Terna_pitag%C3%B3rica

Con lo que no estoy de acuerdo es con tu conclusión. No al menos sin más explicación.

Esto implica que si:

Un cordial saludo.

En principio que con coprimos no signfica que tenga que ser igual a .

Dos observaciones más:

- La prueba standard del UTF para es la única que es realmente sencilla y se basa en matemáticas relativamente elementales. Puedes verla por ejemplo aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,18414.msg76066.html#msg76066

Tal prueba se basa precisamente en la descripción de las Ternas Pitagóricas; lo que quiero decir es que no es muy distinta en su comienzo al camino que estás siguiendo.

 - La otra es sobre esto:

Ya sabéis que me gustan las "maquinitas" , así que ya tengo preparada una sobre este tema. Si os interesa, la subo. Como siempre, "pesa poco".

 Nunca está demás poner ejemplo para clarificar una idea; pero en el caso del UFT pueden ser un poco tramposos. La gracia del Teorema es que es de enunciado muy sencillo; cualquiera puede ensayar con números y ver que no se cumple. Pero el problema es demostrarlo. De igual forma uno puede mostar con ejemplos que tal o cual propiedad que afirma es cierta, pero en terrenos fronterizos al UFT lo que hay que hacer para pisar en firme es probarla con generalidad; en otro caso se corre el riesgo de basar una supuesta prueba en propiedades igualmente difíciles de probar.

Saludos.

[mente oscura]

Hola El_manco.
Me has echado "un jarro de agua fría".
No sé si no has examinado a fondo mi exposición, o es que yo soy muy torpe 
Siempre que alguien me remite a algún "enlace", acudo raudo a visitarlo.
Me dices que "son cosas que esencialmente se saben", y me parece bien, pero los enlaces que me has puesto no tienen nada que ver con mis razonamientos. Sólo se parecen:
1) Parten de ternas pitagóricas.
2) Utilizan un "m" y un "n".
Mi "m" y "n", humildemente, creo que no son asimilables a los de los enlaces.
En cuanto a la conclusión, quizá me he saltado algún paso, que consideraba evidente.


Es necesario que se cumpla:



n_1 y n_2 han de ser coprimos necesariamente.

Esto implica que si:

Esta conclusión es por:


Si consideramos:

Tendríamos:

Para que se cumpliese que:

sería necesario:
1) ...
o
2) ...

En cuanto a mi "maquinita", no pretendo que sea tramposa, me conformo con que funcione (que funciona )
La he basado en:
1) Debe ser sabido (supongo), que todo número impar mayor que 1, tiene asociada por lo menos una terna pitagórica primitiva.

Tendría como una de sus ternas:


Esta terna sería la de mayor "distancia" numérica. Por encima de estos valores no hay más ternas, referidas al mismo "k".

2) El estudio expuesto anteriormente en otro de los "post"
Funciona así:
En la casilla "A1" introducimos el número impar que queramos.
En la casilla "A2" vamos probando con números naturales, y hallaremos todas las ternas asociadas (incluidas las no primitivas).
Para las primitivas, basta con introducir en "A2" números naturales al cuadrado: 1, 4, 9, 16, ...,
y podremos hallar todas las ternas.
Cuando lleguemos al límite, referido anteriormente, ya no merece la pena seguir probando.
Ejemplo:
Para k=15
n=1 (15, 8, 17),
n=5 (15, 20, 25), "5" no es un cuadrado= no primitiva.
n=12 (15, 36, 39), "12" no es un cuadrado= no primitiva.
n=49 (15, 112, 113),
Este es el límite referido anteriormente.
Creo que me lo he "currado".
Un cordial saludo.