Matriz Orlada

[pepeChur]

Hola a todos.
Tengo el siguiente problema el cual no tengo ni idea de cómo resolver ya que no sé lo que es una matriz orlada .
He buscado en internet pero no encontré nada que me explique lo que es, si alguien por aquí lo sabe por favor que me ayude o de una mano con este problema.

Editado
Acabo de encontrar esto:
Dado natural. Para cada matriz A , p x q con y , de números reales, llamamos
matriz orlada de A de orden n a la matriz cuadrada, n x n, que se obtiene si
agregamos ceros a la derecha de las filas y ceros abajo de las columnas de A.


Me piden:

a) Hallar , siendo A =
b) ¿Cuándo una matriz es orlada de sí misma?
c) Investigar si (indicar en qué caso se cumple y en cuales no se cumple dando un ejemplo para cada uno de ellos).
d) Investigar si (indicar en qué caso se cumple y en cuales no se cumple dando un ejemplo para cada uno de ellos).
e) Investigar si (indicar en qué caso se cumple y en cuales no se cumple dando un ejemplo para cada uno de ellos).
f) Si y A es invertible, investigar si (indicar en qué caso se cumple y en cuales no se cumple dando un ejemplo para cada uno de ellos). En caso que no se cumpla en todos los casos modifique la definición para que sí se cumpla.
g) Dar una aplicación a esta definición indicando su alcance.


Saludos.

[el_manco]

Hola

 Debes de entender primero la definición de matriz orlada. Simplemente se trata de completar con ceros la matriz dada hasta que sea una matriz cuadrada del tamaño que se indica.

 Así en el apartado (a):



 Entendido esto intenta afrontar los otros apartados. Explica las dudas concretas que te surjan.

Saludos.

[pepeChur]

Gracias por contestar, ahora si me quedo mas claro, lo estaba entendiendo mal.
Voy a ver si me sale lo otro, cualquier duda la pregunto.

Saludos.

[pepeChur]

Tengo una pregunta, en la pregunta b) ¿Cuándo una matriz es orlada de sí misma?.

A que se refiere con de sí misma, no lo entiendo.

[Hernan_ER]

No te pude contestar el mensaje porque tenes la bandeja llena. ¿Vos estas haciendo álgebra lineal 1? Porque eso no lo di. De todas maneras  según la definición la matriz coincide con su orlada de orden n si y solo si la matriz es cuadrada y la cantidad de filas/columnas de la misma coincide con el orden de su orlada (n).

Por ejemplo:





Creo que eso debería estar bien.

[Gaussa]

Hola.

Estoy intentando responderte por mensaje privado pero no lo consigo 

Hasta ahora desconocía lo que era una matriz orlada, pero por la definición coincido con lo que dice Hernan_ER.

Saludos

[pepeChur]

Si estoy haciendo algebra 1.
Yo tampoco lo di en clase, me lo mandaron como un trabajo.

Con eso que pusiste te entendí, muchas gracias.

Ahora con respecto a la parte c), vi que se cumple. Sume dos matrices cualesquiera y les hice la orlada y luego hice la orlada de una y la de la otra y las sume y dieron lo mismo.
Por suma de matrices se tendría que cumplir, ahora para demostrarlo hice lo siguiente pero no sé si está bien.

Tome que si sumo obtengo una matriz



Si sumo las orladas de cada una daría lo mismo que la matriz anterior.
No sé si está bien hecho.

Editado
Tampoco logro encontrar un caso en el cual no se cumpla ya que la letra dice:
c) indicar en qué caso se cumple y en cuales no se cumple dando un ejemplo para cada uno de ellos

[Tanius]

Tu razonamiento está bien.

Para el caso del producto, creo que también se cumple, habría que hacer la prueba.

Un saludo 

[pepeChur]

Gracias por la respuesta.

Pero sigo sin entender cuando dice:

indicar en qué caso se cumple y en cuales no se cumple dando un ejemplo para cada uno de ellos


Puede ser que no haya casos en los que no se cumple, porque no encuentro uno o no logro darme cuenta.

[Gaussa]

Hola

Gracias por la respuesta.

Pero sigo sin entender cuando dice:

indicar en qué caso se cumple y en cuales no se cumple dando un ejemplo para cada uno de ellos


Puede ser que no haya casos en los que no se cumple, porque no encuentro uno o no logro darme cuenta.

Me parece que debería cumplirse siempre.

Ponte ejemplos y observa que da igual que completes una matriz con ceros y la sumes con otra que también haya sido completada con ceros, que las sumes y luego las completes con ceros.

Lo único que habría que tener en cuenta es que las matrices A y B deben tener el mismo orden, aunque eso es obvio, supongo que el enunciado no se refiere a eso.

Mmm... no creo que existan contraejemplos

(Sigo sin poder responderte por mensaje privado, el problema me parece que es del foro, que algunos usuarios no podemos enviar mensajes a otros)

Saludos

[pabloN]

Hola.

Para probar formalmente que mi sugerencia es que definas primero una notación. Por ejemplo, dadas y con , designemos con una barra encima a la matriz orlada correspondiente. Con esta notación queremos ver que . Por la definición de matriz orlada que escribiste al principio:



Análogamente:



Por último:



donde . Ahora hay que demostrar que . Nuevamente por definición de producto de matrices:

Debemos distinguir cuatro casos (dependiendo de la posición en la matriz):

1) . Queda .

2) . Queda .

3) . Queda .

4) . Queda

Saludos

[Gaussa]

Hola.

Respondo por aquí lo que me has preguntado del apartado e)

El signo dice si es anti simétrica o simplemente pregunta que si negar A y hacerle la orlada es lo mismo que hacerle la orlada y luego negarla.

Por definición, una matriz es antisimétrica si se cumple que

Por tanto, no te preguntan si es antisimétrica o no, de hacerlo, te preguntarían que estudiases si se cumple que (búscate un contraejemplo).

Lo que te están preguntando es lo segundo que has dicho. Ponte ejemplos primero y luego acaba generalizando, verás que es cierto. Te piden también lo mismo que antes, "indicar en qué caso se cumple y en cuales no se cumple dando un ejemplo para cada uno de ellos", yo sigo viendo que siempre se verifica, que no hay contraejemplo.

Espero que te sirva 

Saludos

[pepeChur]

Muchas gracias amigo pabloN por tu respuesta y a gracais a ti tmb Gaussa.
Lo estaba haciendo de otra forma la d), pero de esta también me viene muy bien.
Ahora tengo unas dudas con respecto a las 2 ultimas preguntas, f) y g).

En la f) la respuesta seria que no se puede ya que cuando se le hace la orlada y luego la inversa queda una columna, fila o columna y fila de ceros. Una matriz de esta forma su determinante da 0 y una matriz cuyo determinante da cero es una matriz singular y no tiene inversa.
Ahora tendría que dar una nueva definición de matriz orlada para que se cumpla esto? De ser así no se me ocurre ninguna...alguna idea?

En la g) cuando habla de alcance a que se refiere?


Saludos.

[el_manco]

Hola

 En la (f) efectivamente si , la matriz orlada no es inversible. Por tanto la propiedad sólo se cumple si .

Saludos.

[pepeChur]

Gracias el_manco por la respuesta.

En otras palabras únicamente seria invertible cuando es orlada de sí misma.
Ahora cuando habla de alcance de la definición, a que se está refiriendo? a que propiedades se cumplen o de que habla?


Saludos.

[el_manco]

Hola

En otras palabras únicamente seria invertible cuando es orlada de sí misma.
Ahora cuando habla de alcance de la definición, a que se está refiriendo? a que propiedades se cumplen o de que habla?

Lo que está preguntando es que des alguna aplicación de esa construcción. Es decir alguna utilidad de la conversión añadiendo de ceros de matrices arbitrarias en matrices cuadradas.

A mi francamente no se me ocurre ninguna.

Saludos.

[pabloN]

A mi francamente no se me ocurre ninguna.

Una aplicación importante puede ser el algoritmo de Strassen, que es el que se usa habitualmente para la multiplicación de matrices (sobre todo, para matrices grandes y con muchos coeficientes no nulos). Como dicho algoritmo requiere que las matrices a multiplicar sean cuadradas de tamaño una potencia de dos (para que en las llamadas recursivas, al dividir sucesivamente por 2 el tamaño de la matriz nos siga dando un entero), se suele considerar las matrices orladas de orden siendo el mínimo posible.