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24/05/2013, 12:07:53 am

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Foros de matemática > Matemática > Análisis Matemático > Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) > Tema: limite de dos variables

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	Autor	Tema: limite de dos variables (Leído 98 veces)
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juanc

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limite de dos variables

« : 08/07/2012, 10:12:30 am »

hola, como puedo probar por definición que el siguiente limite existe
$\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)}}{\displaystyle\frac{(x-y)^5}{(x^2+2y^2)\sqrt[ ]{x^2+y^2}}}=(0,0)$ lo que me complica es como acotarlo?


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pabloN

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Re: limite de dos variables

« Respuesta #1 : 08/07/2012, 03:58:03 pm »

¿No debiera ser

en vez de

?. Llama $\displaystyle f(x,y)=\frac{(x-y)^5}{(x^2+2y^2)\sqrt{x^2+y^2}}$ . Entonces:

$\begin{align*}|f(x,y)-0|=|f(x,y)|&=\left|\frac{x^5-5x^4y+10x^3y^2-10x^2y^3+5xy^4-y^5}{(x^2+2y^2)\sqrt{x^2+y^2}}\right|\\&=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\left|x^3\frac{x^2}{x^2+2y^2}-5yx^2\frac{x^2}{x^2+2y^2}+5x^3\frac{2y^2}{x^2+2y^2}-10y^3\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{5}{2}xy^2\frac{2y^2}{x^2+2y^2}-\frac{1}{2}y^3\frac{2y^2}{x^2+2y^2}\right|\\&\leq \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\left(|x|^3\frac{x^2}{x^2+2y^2}+5|y||x|^2\frac{x^2}{x^2+2y^2}+5|x|^3\frac{2y^2}{x^2+2y^2}+10|y|^3\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{5}{2}|x||y|^2\frac{2y^2}{x^2+2y^2}+\frac{1}{2}|y|^3\frac{2y^2}{x^2+2y^2}\right)\\ &\leq \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\left(|x|^3+5|y||x|^2+5|x|^3+10|y|^3+\frac{5}{2}|x||y|^2+\frac{1}{2}|y|^3\right)\end{align}$

Teniendo en cuenta que $\displaystyle \frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq 1$ y que $\displaystyle \frac{|y|}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq 1$ podría hacerse la siguiente acotación:

$\displaystyle |f(x,y)-0|\leq |x|^2+5|x|^2+5|x|^2+10|y|^2+\frac{5}{2}|y|^2+\frac{1}{2}|y|^2=11|x|^2+13|y|^2$

Para

"cerca" de

podemos asumir

. Luego,

$|f(x,y)-0|\leq 11|x|^2+13|y|^2<11|x|+13|y|$

Ahora habría que corroborar que la función $\phi(x,y)=11|x|+13|y|$ tiene límite

cuando $(x,y)\to (0,0)$ .

Saludos


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I have a dream that one day no message of "Connection Problems" will appear. I still have a dream... :risa:

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