Demostraciones Matematicas problemas ejercicios preguntas consultas dudas ayuda apoyo, tareas. Foros. Tex, Latex Editor. Latexrender. Math help

Spoiler: Lema (click para mostrar u ocultar)

Nuestro objetivo será resolver una congruencia polinómica de la forma:

$f(x)\equiv 0\pmod{p^\alpha},\quad \alpha\geq 2\hspace{3.5cm}(1)$

Supongamos que

es una solución de

reducida módulo $p^\alpha$ , o sea $f(a)\equiv 0\pmod{p^\alpha}$ con $0\leq a<p^\alpha$ . Entonces, como $p|p^\alpha$ ha de cumplirse también que $f(a)\equiv 0\pmod{p^{\alpha-1}}$ (aplico la propiedad que afirma que si $\text{$a\equiv b\pmod{n}$ y $d|n\Longrightarrow a\equiv b\pmod{\frac{n}{d}}$}$ ). Es decir,

es también una solución de:

$f(x)\equiv 0\pmod{p^{\alpha-1}}\hspace{3.5cm}(2)$

Si hacemos la división euclídea de

entre $p^{\alpha-1}$ se obtiene $\text{$a=tp^{\alpha-1}+r,$ con $0\leq r<p^{\alpha-1}$}$ por lo que $a\equiv r\pmod{p^{\alpha-1}}$ . Esto implica que $f(a)\equiv f(r)\equiv 0\pmod{p^{\alpha-1}}$ , luego

es una solución de

reducida módulo $p^{\alpha-1}$ . Este argumento muestra que toda solución

de la congruencia

en el intervalo $0\leq a<p^\alpha$ determina una solución

en el intervalo $0\leq r<p^{\alpha-1}$ de la congruencia

.

Nosotros estamos interesados en el proceso inverso, es decir, si conocemos una solución

de $f(x)\equiv 0\pmod{p^{\alpha-1}}$ con $0\leq r<p^{\alpha-1}$ , cómo hallar (si existe) $a=tp^{\alpha-1}+r$ en el intervalo $0\leq a<p^\alpha$ tal que sea solución de $f(x)\equiv 0\pmod{p^\alpha}$ . La respuesta está en el siguiente

TEOREMA. Supongamos que $\alpha\geq 2$ y que es una solución de la congruencia $f(x)\equiv 0\pmod{p^{\alpha-1}}$ tal que $0\leq r<p^{\alpha-1}$ . Buscamos un entero que satisfaga dos condiciones:

i. $f(a)\equiv 0\pmod{p^\alpha},\;0\leq a<p^\alpha$

ii. $a=tp^{\alpha-1}+r$ para algún $t\in \mathbb{Z}$

Entonces:

1) Si $f'(r)\not\equiv 0\pmod{p}$ hay exactamente un entero en las condiciones anteriores.

2) Si $f'(r)\equiv 0\pmod{p}$ y $f(r)\equiv 0\pmod{p^\alpha}$ hay enteros que satisfacen i. y ii.

3) Si $f'(r)\equiv 0\pmod{p}$ y $f(r)\not\equiv 0\pmod{p^\alpha}$ no existe solución.

Spoiler: Demostración (click para mostrar u ocultar)

	Autor	Tema: Congruencias con módulo la potencia de un número primo (Rubiano, pag. 142) (Leído 394 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.