Clasificar integral impropia según el parámetro

[Hernan_ER]

Hola. Debo clasificar la siguiente integral discutiendo según alfa:



Lo primero que hice fue escribirla de la siguiente forma:


Y se me ocurriría acotarla superiormente por pero ¿cómo sé que es mayor que la función original en todo el intervalo [0,3]? Porque capaz que existe una función que es mayor pero en el infinito y no en ese intervalo ¿me explico?

Muchas gracias

[el_manco]

Hola

 Es que las acotaciones no se hacen de manera gratuita. No puedes acotar como dices porque no es cierto que:



 Ahora fíjate para la integral es impropia en el límite superior. Entonces la convergencia equivale a la de esta integral:



 En el intervalo tenemos la cota:



 Por tanto la convergencia de la integral equivale a la de:



 Ahora haz el cambio .

Saludos.

[Hernan_ER]

Hola

 Es que las acotaciones no se hacen de manera gratuita. No puedes acotar como dices porque no es cierto que:



 Ahora fíjate para la integral es impropia en el límite superior. Entonces la convergencia equivale a la de esta integral:



 En el intervalo tenemos la cota:



 Por tanto la convergencia de la integral equivale a la de:



 Ahora haz el cambio .

Saludos.

Ahh, pero ¿entonces de qué sirven las cotas?

Me queda:


No me doy cuenta. ASí como me has dicho que haga el cambio no la puedo comparar con una armónica.

Muchas gracias.

[el_manco]

Hola

 Si, perdona; el cambio que propongo no es útil (aunque tampoco quedaría como dices).

 Mejor acota así para



 Con lo cuál la convergencia de tu integra para equivale a la de:



 Esa integral puede caclularse ahora de manera explícita.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Hola. Debo clasificar la siguiente integral discutiendo según alfa:

No sé si habéis dado la función beta de Euler. En cualquier caso expongo la forma de hacerlo. Efectuando sucesivamente los cambios y obtenemos:



La integral es convergente sí y sólo si o equivalentemente, si y sólo si .