Límites de integración al cambiar el orden

[alucard]

Hola, ¿me pueden indicar por favor como se puede hacer para obtener los limites de forma analítica, sobre los recintos de integración al cambiar el orden en integrales multiples?, por ejemplo si tengo



si cambio los límites de integración, haciendo el dibujo se observa que la integral se divide en dos partes



Ahora, si quiero no depender del dibujo del recinto, para definir los límites cuando cambio el orden de integración, y hacer todo de manera analítica ¿ es posible ?

o sea, yo sé que:



¿de ahí como deberia proceder, para que la integral quede divida en dos partes?

[el_manco]

Hola

 Claro que puede hacerse. Esta es una pregunta que hacen muchos estudiantes. Pero nunca entendí la obsesión por escapar de los dibujos. ¿Por qué despreciar la ayuda que nos dan?.

 Tienes las desigualdades:

 

 

 Reescribiendo la primera nos quedan:

 
 

 Ahora como tenemos dos cotas superiores y dos inferiores para , combinadas quedan:

(*)

 De ahí:



 y:



 de donde:



 Y volviendo a (*) nos queda:

 
 

 Ahora estudiamos el mínimo:



 Obteniendo:

 
 

Saludos.

[alucard]

Muchas gracias el_manco, sos genial, no discuto el comentario que hiciste sobre la ayuda que dan los dibujos, pero siempre es bueno tener alguna herramienta más guardada en el cajón, solo por si acaso  , una pregunta ¿el razonamiento seria análogo al que hiciste si tendria que hacerlo al reves, o sea de la integral doble pasarlo a la simple?

[el_manco]

Hola

 Si, el razonamiento sería análogo. Puedes intentarlo por si encuentras alguna dificultad. Fíajte que uno en principio llegaría a dos integrales y no tendría porqué "darse cuenta" de que se pueden agrupar en una.

Saludos.