Base de vectores propios, valores propios distintos.

[lindtaylor]

Una duda, Si tengo V espacio vectorial finito con dimensión n, y con una base de vectores propios entonces debe haber n valores propios distintos? Sé que cuando hay n valores propios distintos existe la base de vectores propios, pero al revés es cierto? Yo digo que no, aunque no sé que contraejemplo ver.
Desde ya gracias.

[HernanV]

Está como algo incompleta la pregunta... Pues para tener vectores propios debes tener un operador lineal sobre , cosa que nunca mencionas.

Considerando eso, puede que un operador lineal tenga menos de autovalores propios y aún así ser diagonalizable. Ello implica que habrá uno o más valores propios asociados a autoespacios de dimensión mayor que uno. Digamos, por decirlo de alguna manera, mientras la multiplicidad algebraica del valor propio coincida con la dimensión del autoespacio asociado, "todo anda bien".

Como te darás cuenta, la afirmación recíproca que propones no es necesariamente cierta.

[feriva]

Sé que cuando hay n valores propios distintos existe la base de vectores propios, pero al revés es cierto? Yo digo que no, aunque no sé que contraejemplo ver.

Hola. Un ejemplo:



Verás que de ahí puedes obtener sólo dos autovalores distintos, 3 y cero (con multiplicidad doble) y, sin embargo, tres autovectores linealmente independientes:

(1,1,1) asociado al autovalor 3

(-1,0,1) (-1,1,0) asociados al autovalor cero.

*(un caso aún más sencillo es el de la matriz diagonal con los elementos repetidos)

Saludos y buenas noches.