Espacio Haussdorf

[matemlg]

Estoy intentando demostrar que si X es Haussdorf y A es retracto de X entonces A es cerrado.

He definido una aplicación , donde r es el retracto, la cual es continua, y he considerado abiertos que separan a y .

Quiero intentar ver que es la imagen inversa de algún abierto mediante f pero no logro encontrarlo. ¿Me podéis dar una pista? Muchas gracias.

[Tanius]

¿Cuál es la definición de que sea un retracto de ? (No la había escuchado, o bien, no me acuerdo).

Un saludo 

[Tanius]

Ya he encontrado la definición. Por ser retracto de , existe una función continua tal que para todo .

Sea . Como , es . Sean y abiertos disjuntos con y . Entonces cumple que
 
Un saludo 

[Tanius]

Una forma alternativa es tener en cuenta que vale lo siguiente: si son continuas con Hausdorff, entonces es cerrado. Luego, en el problema de este tema, basta notar que es el conjunto de puntos tales que coincide con la identidad.

Un saludo 

[matemlg]

Gracias a los dos. Aunque lo que comenta Tanius es mas directo, no me acordaba de esa propiedad de los espacios Hausdorff y estaba pensando en la primera. Thankyou!!!