Anillo de división, cuaterniones reales.

[Masba]

Hola! Apenas estoy viendo la definición de anillo y algunas clases especiales de anillos. Ojalá me puedan ayudar con el siguiente ejercicio:

Un anillo se dice anillo de división si todo elemento no cero tiene un inverso bilateral (necesariamente único). Si es conmutativo, diremos que es un campo.

Demuestre que el anillo

de los cuaterniones (reales) es un anillo de división.

[numbsoul]

Igual que para números complejos,prueba que para todo .

[Masba]

Me podrias decir cual es la idea de la demostración?
Lo que  yo entiendo es que debo tomar un elemento no nulo y comprobar que tiene inverso.

[Masba]

Tengo esto:
Un número cuaternion: y su conjugado es .
Ahora, si entonces al multiplicarlo por su conjugado, se obtiene: así pues .
En consecuencia, el inverso multiplicativo de es, precisamente, .

[Masba]

¿Cuál sería el centro de H?

[numbsoul]

Prueba que .

[malboro]

Lee este libro titulado àlgebras de dimensao finitas de Bernardo Felzenszwalb.

[Masba]

Si veo que el centro es el conjunto de elementos de la forma: pero no se como escribirlo en una demostración. Espero me ayuden.

[numbsoul]

En primer lugar,observa que es un subanillo y que
Toma un elemento central .

Entonces es central.Por lo tanto,conmuta con .

Es decir,.

De allí,saca condiciones sobre y .

Luego vuelve al elemento original y usa que conmuta con .

[Masba]

las condiciones sobre y son que ??
Hago esto para y ?

[numbsoul]

Debería darte .

Tenemos que y .

Iguala las partes correspondientes como se hace con números complejos.

Disculpa,no vi la modificación de tu post 

[Masba]

sii, lo acabo de corregir. si lo conmuto con j también me da  b=d=0

[Masba]

Entonces con esto ya tengo que es la forma de los del centro ??