Encontrar homomorfismo

[pabloN]

En cada parte, ver si existe un morfismo no trivial (es decir, que no mande todos los elementos al neutro) entre los siguientes pares de grupos. En caso de que existan construir dicho morfismo, y si no existe explicar porqué.

i) con la composición y con la suma.

ii) con la suma y con la composición.

Para el apartado ii) creo que no hay un homomorfismo no trivial porque y son coprimos. ¿Para el apartado i)?

Saludos

[Gustavo]

Para el otro considera las permutaciones

(identidad de )





y define tal que para

[albertosiete]

Por "entre y " yo entiendo "", no indistintamente "" o "". Al menos es como yo lo he oído usar en contextos matemáticos.

[Gustavo]

Tienes razón, albertosiete. Debí haber interpretado el problema así, lo siento.

No existe un homomorfismo no trivial en tal caso. Cualquier homomorfismo debe enviar las transposiciones en (ya que son de orden 2), y dado que cualquier permutación puede escribirse como producto de éstas, todo elemento de debe ser llevado a

[pabloN]

Tienes razón, albertosiete. Debí haber interpretado el problema así, lo siento.

No existe un homomorfismo no trivial en tal caso. Cualquier homomorfismo debe enviar las transposiciones en (ya que son de orden 2), y dado que cualquier permutación puede escribirse como producto de éstas, todo elemento de debe ser llevado a

Muchas gracias, Gustavo. ¿Hay alguna forma de llegar a esa conclusión sin usar transposiciones? Pues del grupo de permutaciones sólo vimos la definición, nada de teoría. No vimos la descomposición en ciclos ni nada de eso. Tal vez el ejercicio no esté bien planteado, pues no tenemos las herramientas para resolverlo. En fin...

De nuevo, muchas gracias por tu ayuda.

Saludos

[Gustavo]

Muchas gracias, Gustavo. ¿Hay alguna forma de llegar a esa conclusión sin usar transposiciones? Pues del grupo de permutaciones sólo vimos la definición, nada de teoría. No vimos la descomposición en ciclos ni nada de eso.

De nada. Pues no se me ocurre una forma de justificar la no existencia del homomorfismo sin generadores de

[el_manco]

Hola

 Bueno en realidad lo que usa Gustavo no es ningún resultado demasido fuerte. Es todo muy inmediato de la definición del grupo de permutaciones.

 Está claro que una permutación que sólo cambia dos elementos tiene orden dos. Le llamamos trasposición.

 Y está claro que cualquier permutación puede descomponerse en producto de trasposiciones. Basta tener en cuenta que para cualquier permutación y moviendo sólo pares de elementos podemos ir llevando el a su posición inicial, luego el , luego el ...

 Esto es lo único que usa.

Saludos.