Verdadero-falso sobre transformación lineal (2)

[Hernan_ER]

Lo que vale es que ,pero no al revés.

Yo afirmo que la imagen de corresponde al kernel de T. Si esto no fuera cierto para algún vector.

Pero en el ejercicio querés ver que , no que .

[slogrado]

Pero lee mi primer mensaje, eso es lo que estoy afirmando. Osea primero planteé que el núcleo de T está incluido en la imagen de , luego que la imagen de está incluida en la imagen de T. Por lo tanto el núcleo de T está incluido en la imagen de T.

[Hernan_ER]

Vos djiste primero:

1. "la imagen de corresponde al núcleo de T"

Luego lo mismo:

2. "Yo afirmo que la imagen de corresponde al kernel de T

Y ahora:

3. "el núcleo de T está incluido en la imagen de "


¿A que te referís con "corresponde"? ¿Que está incluido? Si con corresponde te referís a incluido entonces te estás contradiciendo con lo ultimo que dijiste. Creo que vos no planteaste que el kernel de T está incluido en la imagen de , me parece planteaste lo inverso:




Podés usar código Latex para entendernos mejor: http://rinconmatematico.com/latexrender/
Si no podés conseguir el Mathtype que es el que uso.

[slogrado]

Disculpa por el lenguaje que usé. Con "corresponde" me refiero a que es igual.
Me confundí en el punto 3. El núcleo de T debe ser igual a la imagen de . ERROR!

Lo que yo planteo es simple y me parece correcto.

En primer lugar: . Si esto no fuera cierto,   para algún vector.

Luego existe un teorema que afirma que la imagen de   está incluida en la imagen de T (parte C de adjunto).

Finalmente dado que , la cual está incluida en la imagen de T, entonces el núcleo de T está incluido en la imagen de T.

Disculpa también por mi poco manejo de LATEX pero aun no estoy familiarizado con el lenguaje.

[Hernan_ER]

Ahh bien, ahora entiendo lo que decis. El problema es que vos afirmas que , pero vos no sabes si son iguales, vos sabes que está incluido o es igual: . Si son iguales se cumple como decís, ¿pero si está incluido y no es igual? En ese caso no sabes si la imagen es la que esta incluida en el kernel o el kernel en la imagen.

Tenemos:

[slogrado]

Esto quiere decir que que a le estoy aplicando T y estoy obteniendo 0. Por lo tanto la imagen de tiene que ser el kernel de T.

[Hernan_ER]

Me cuesta verlo pero creo que ya lo tengo:

¿Por qué no podría pasar que dado tal que entonces además de la imagen de , tenemos otro elemento que pertenece al kernel de T?

Entonces el kernel sería:



¿Pero está incluido en ?

[Carlos Ivorra]

A ver así:

Vamos a suponer que y probaremos que .

Sea y consideremos la restricción . Tenemos que

.

Por otra parte, no puede contener dos vectores linealmente independientes, pues serían dos vectores de , luego serían una base de este núcleo, luego , en contra de lo que estamos suponiendo. Así pues, , luego .

Ahora ya está:

Sabemos que , luego (tomando ) , luego (tomando ) , luego .

[slogrado]

No entiendo muy bien a que te refieres. Pero el kernel no es el vector nulo, en la letra dice que es dimensión 2.

¿Por qué no podría pasar que dado tal que entonces además de la imagen de , tenemos otro elemento que pertenece al kernel de T?

Eso no es posible, dado que tu le aplicas T a la imagen de y es de esa manera que obtienes .

[Hernan_ER]

No entiendo muy bien a que te refieres. Pero el kernel no es el vector nulo, en la letra dice que es dimensión 2.

¿Por qué no podría pasar que dado tal que entonces además de la imagen de , tenemos otro elemento que pertenece al kernel de T?

Eso no es posible, dado que tu le aplicas T a la imagen de .

Entonces te estás contradiciendo porque la imagen de no es más que el vector nulo y estás diciendo que la imagen de es el kernel de T, por lo tanto el kernel de T ES el vector nulo (según vos) pero no puede ser ya que su dimensión es 2 como acabas de decir. En conclusion la imagen de T al cuadrado esta INCLUIDA en el kernel, otra forma de decir es que el vector nulo está en el kernel, algo superobvio que no aporta nada. Voy a revisar bien la respuesta de Carlos a ver...

[slogrado]

No me estoy contradiciendo. Lee mis mensajes. Nunca dije que la Imagen de sea el vector nulo. Es la imagen de la que corresponde al vector nulo.
La imagen de es el kernel de T.

[Hernan_ER]

No me estoy contradiciendo. Lee mis mensajes. Nunca dije que la Imagen de sea el vector nulo. Es la imagen de la que corresponde al vector nulo.
La imagen de es el kernel de T.

Creo que te estás confundiendo. La imagen de es que es cero.

[slogrado]

Tu te estás confundiendo. es una transformación, una imagen es un conjunto de vectores. La imagen de es un conjunto de vectores a los cuales le aplico T para obtener la imagen de .

[Carlos Ivorra]

Me interesaría saber por qué (o al menos un contraejemplo) es erróneo decir que al tener dos subespacios de un mismo espacio y la dimensión de uno de ellos es menor que la de otro entonces el de mayor dimensión lo contiene. Me quedó esa duda.

Considera en una recta y un plano que pasen por el origen. Ambos son subespacios vectoriales, la recta tiene menor dimensión, pero una recta cualquiera no tiene por qué estar contenida en un plano cualquiera.

[Carlos Ivorra]

En primer lugar: la imagen de es igual al núcleo de T. Si esto no fuera cierto,   para algún vector.

En esto creo que tiene razón Hernan_ER (en otras cosas que te discute no): si partes únicamente de que , lo único que puedes decir a priori es que . Si quieres afirmar la igualdad, tendrás que justificarla de algún modo usando algo más que .

[Hernan_ER]

Tu te estás confundiendo. es una transformación, una imagen es un conjunto de vectores. La imagen de es un conjunto de vectores a los cuales le aplico T para obtener la imagen de .

Ahhh vos te estás refiriendo al conjunto imagen, claro, pero yo me refiero a la imagen concreta de un vector. Me entreveré y nos hemos desentendido...disculpa. .. de todas formas vuelvo a repetir

¿Por qué no podría pasar que dado tal que entonces además de la imagen de , tenemos otro elemento que pertenece al kernel de T?

Entonces el kernel sería:



¿Pero está incluido en ? Eso no se sabe todavia...

[slogrado]

En primer lugar: la imagen de es igual al núcleo de T. Si esto no fuera cierto,   para algún vector.

En esto creo que tiene razón Hernan_ER (en otras cosas que te discute no): si partes únicamente de que , lo único que puedes decir a priori es que . Si quieres afirmar la igualdad, tendrás que justificarla de algún modo usando algo más que .

Si tienes razón estaba equivocado con respecto a eso. Muchas gracias.
Sin embargo alcanza con  para que el razonamiento que planteo funcione.

[Hernan_ER]

Hmm yo no estoy seguro porque mira la respuesta 24 en la que justo escribo eso, tenemos:




Pero ¿como sabes que son iguales? Creo es claro que hay que usar que la dimensión del kernel es 2.

[slogrado]

Tienes razon!. Me equivocaba con eso también. Si debe de haber alguna relación entre las dimensiones que estoy olvidando.

[Hernan_ER]

He vuelto con este ejercicio. Estabamos en la parte 3. Hasta ahora demostré que:



y



Pero todavía no puedo concluir. ¿Que es lo que me faltaría?