Verdadero-falso sobre transformación lineal (2)

[Hernan_ER]

Todas las afirmaciones son verdaderas.
La afirmación 1 es correcta ya que la imagen tiene dimensión 3 pero ¿cómo hago para ver que las demás también son correctas?

Gracias.

[Hernan_ER]

Ya lo pude razonar. Para la afirmación III creo que decirme que no hace más que confundir ya que no me afecta en nada porque con las hipótesis iniciales que da el enunciado podemos ver que la dimensión del kernel es 2 y la de la imagen es 3 y como son subespacios de un mismo espacio vectorial entonces el kernel está incluido en la imagen (por tener menor dimensión).

Luego para la afirmación II es fácil ver que perfectamente podría ser base de la Imagen, en particular es LI en el codominio, y si es LI en el codominio también lo es en el dominio (Teorema).

¿Razoné bien?

[numbsoul]

Para el segundo,toma una base de la imagen (sabemos que tiene dimensión tres por estar en suma directa con el núcleo,o bien,por el teorema de la dimensión)

Si ,entonces y como los son linealmente independientes,resulta que .
Luego es linealmente independiente.

[Hernan_ER]

Para el segundo,toma una base de la imagen (sabemos que tiene dimensión tres por estar en suma directa con el núcleo)

Si ,entonces y como los son linealmente independientes,resulta que .
Luego es linealmente independiente.

Aunque la suma no fuera directa se sabe que la dimensión de la imagen es 3 por el enunciado principal (por el teorema de las dimensiones), pero ¿cual es el error de mi razonamiento?

Muchas gracias

[numbsoul]

Está bien.
Si fuera linealmente dependiente,entonces y entonces ,contradiciendo la hipótesis de que es linealmente independiente.

[Hernan_ER]

Está bien.
Si fuera linealmente dependiente,entonces y entonces ,contradiciendo la hipótesis de que es linealmente independiente.

¡Muchas gracias!

[numbsoul]

Ya lo pude razonar. Para la afirmación III creo que decirme que no hace más que confundir ya que no me afecta en nada porque con las hipótesis iniciales que da el enunciado podemos ver que la dimensión del kernel es 2 y la de la imagen es 3 y como son subespacios de un mismo espacio vectorial entonces el kernel está incluido en la imagen (por tener menor dimensión).

Eso no es correcto.Que un subespacio tenga menor dimensión que otro no implica que sean comparables en el orden de contención(basta considerar el segundo problema)

[numbsoul]

Para el tercero,prueba que puedes conseguirte una base del núcleo de la forma para ciertos .
Con esto,la contención es clara.

[Hernan_ER]

Ya lo pude razonar. Para la afirmación III creo que decirme que no hace más que confundir ya que no me afecta en nada porque con las hipótesis iniciales que da el enunciado podemos ver que la dimensión del kernel es 2 y la de la imagen es 3 y como son subespacios de un mismo espacio vectorial entonces el kernel está incluido en la imagen (por tener menor dimensión).

Eso no es correcto.Que un subespacio tenga menor dimensión que otro no implica que sean comparables en el orden de contención(basta considerar el segundo problema)

Pero si son subespacios de un mismo espacio vectorial, ¿por qué no es correcto que uno que tenga mayor dimensión contiene a uno de menor dimensión?

[Hernan_ER]

Para el tercero,prueba que puedes conseguirte una base del núcleo de la forma para ciertos .
Con esto,la contención es clara.

No entiendo..

[numbsoul]

Aún no veo la forma de probarlo sin usar algunas nociones sobre operadores nilpotentes.

[Hernan_ER]

Para el tercero,prueba que puedes conseguirte una base del núcleo de la forma para ciertos .
Con esto,la contención es clara.

Hmm no logro ver cómo puede ser base...

De todas formas, ¿tenés algun contraejemplo de dos subespacios de un mismo espacio en el cual el que tiene mayor dimensión no contiene al de menor dimensión?

¡Gracias!

[numbsoul]

La idea es la siguiente:

-Suponer primero que .
-Tomar un elemento y probar que es linealmente independiente.(Observar que )
-Tomar un elemento que sea linealmente independiente con y que no esté en el núcleo de .

La base buscada es .

Debe haber una forma más fácil pero ahora no la veo 

[numbsoul]

Otra forma.
Supongamos primero que y después vemos por qué pasa esto.
Tomemos linealmente independiente tal que .

Probemos que es linealmente independiente.

Si ,entonces y como la suma es directa se tiene que .Como son linealmente independientes,se tiene que .

PD:olvida el post anterior.

[Hernan_ER]

Espera porque no estoy entendiendo absolutamente nada de lo que estas escribiendo. Para empezar, ¿qué es esta notación? ¿Producto vectorial?

Me interesaría saber por qué (o al menos un contraejemplo) es erróneo decir que al tener dos subespacios de un mismo espacio y la dimensión de uno de ellos es menor que la de otro entonces el de mayor dimensión lo contiene. Me quedó esa duda.

Para probar que la afirmación 3 es verdadera no creo que haya que rebuscarse ya que no hemos hecho razonamientos de ese tipo para resolver estos verdaderos-falsos. Tiene que haber algo más inmediato...

¡Muchas gracias!

[numbsoul]

denota el subespacio generado por los vectores ,que,como es bien sabido,son todas las combinaciones lineales de y .

Para ver por qué es incorrecto tu razonamiento,basta considera el problema II.Se tiene que al ser la suma directa,y por lo tanto no son comparables en el orden de contención.(esto sucede por ejemplo,cuando es una proyección)

[slogrado]

Considera esto. Si . entonces la imagen de corresponde al núcleo de T. Entonces el núcleo de T está incluido en la imagen de .
Por otro lado existe un teorema que afirma que la imagen de está incluida en la imagen de T. Creo que con eso basta.

[numbsoul]

Lo que vale es que ,pero no al revés.

[slogrado]

Se puede probar la parte C de este ejercicio y es en lo que me estoy basando.

[slogrado]

Lo que vale es que ,pero no al revés.

Yo afirmo que la imagen de corresponde al kernel de T. Si esto no fuera cierto para algún vector.