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Gaussa

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Principio de inclusión y exclusión y sucesos mutuamente independientes

« : 24/06/2012, 12:12:17 pm »

Hola.

He de demostrar el principio de inclusión y exclusión. Lo estoy intentando por inducción, pero no lo consigo. Para n=2 es sencillo, Luego lo supongo para n e intento verlo para n+1

$P(\cup{_{i=1}^{n+1}})=P(\cup{_{i=1}^n}A_i\cup{A_i})=\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}{P(A_i)-\displaystyle\sum_{i<j}{P(A_i\cap{A_j})}}+\displaystyle\sum_{i<j<k}{P(A_i\cap{A_j\cap{A_k}})}-...+(-1)^{n-1}P(\cap{_{i=1}^nA_n})-P(\cup{_{i=1}^nA_i\cap{A_i}})$

Sé a dónde tengo que llegar, pero a partir de aquí por mucho que haga no lo consigo.

Sea $(\Omega,S,P)$ espacio probabilístico, $\{A_n\}_{n\geq{1}}$ una sucesión de sucesos tal que son mutuamente independientes y además

, $p\in{(0,1]}$ . Calcula $P(\cup{_{i=1}^{\infty}}A_i)$ y $P(\cap{_{i=1}^{\infty}}A_i)$

¿Cómo empiezo? No escribo mis intentos porque una de ellas me ha dado infinito...

He pensado en usar el lema de Borel Cantelli

Saludos y muchas gracias


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pabloN

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Re: Principio de inclusión y exclusión y sucesos mutuamente independientes

« Respuesta #1 : 24/06/2012, 04:51:54 pm »

Dados $A_1,A_2,\dots,A_n$ medibles, quieres probar:

${\displaystyle P\Big(\bigcup_{i=1}^nA_i\Big)=\sum_{k=1}^n\left((-1)^{k-1}\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_k\leq n }P(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \cdots \cap A_{i_k})\right)$

Supongamos que deseamos probarlo por inducción en

.

En el paso base, queda la conocida fórmula $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ . Supongo que ya la han demostrado.

Ahora para el paso inductivo, ten en cuenta que ${P\big(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i\big)=P\big((\bigcup_{i=1}^nA_i)\cup A_{n+1}\big)=P\big(\bigcup_{i=1}^nA_i\big)+P(A_{n+1})-P\big((\bigcup_{i=1}^nA_i)\cap A_{n+1}\big)}$ (he aplicado la fórmula para el caso

que supuestamente fue probada en el paso base). Sabemos cuánto vale $P\big(\bigcup_{i=1}^nA_i\big)$ (por hipótesis inductiva) y para el término $P\big((\bigcup_{i=1}^nA_i)\cap A_{n+1}\big)}$ nota que $P\big((\bigcup_{i=1}^nA_i)\cap A_{n+1}\big)=P\big(\bigcup_{i=1}^n(A_i\cap A_{n+1})\big)}$ por lo que también puedes aplicar la hipótesis inductiva (son exactamente

sucesos). Te va a quedar:

$\begin{align*}\displaystyle P\Big(\bigcup_{i=1}^n(A_i\cap A_{n+1})\Big)=&\sum_{1\leq i_1\leq n}P(A_{i_1}\cap A_{n+1})\quad -\sum_{1\leq i_1<i_2\leq n}P\big((A_{i_1}\cap A_{n+1})\cap (A_{i_2}\cap A_{n+1})\big)\quad +\sum_{1\leq i_1<i_2<i_3\leq n}P\big((A_{i_1}\cap A_{n+1})\cap (A_{i_2}\cap A_{n+1})\cap (A_{i_3}\cap A_{n+1})\big)\;+\;\cdots\\&+\;(-1)^{n-1}\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_n\leq n}P\big((A_{i_1}\cap A_{n+1})\cap \cdots \cap (A_{i_n}\cap A_{n+1})\big)\end{align}$

Nota que:

$\begin{align*}&P\big((A_{i_1}\cap A_{n+1})\cap (A_{i_2}\cap A_{n+1}))=P(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap A_{n+1})\\&P\big((A_{i_1}\cap A_{n+1})\cap (A_{i_2}\cap A_{n+1})\cap (A_{i_3}\cap A_{n+1})\big) = P(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap A_{i_3}\cap A_{n+1})\\&\vdots\\ &P\big((A_{i_1}\cap A_{n+1})\cap(A_{i_2}\cap A_{n+1})\cap \cdots \cap (A_{i_n}\cap A_{n+1})\big)=P(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap\cdots\cap A_{i_n}\cap A_{n+1})\end{align}$

Bueno, ahora ya casi está. Continúa.

Respecto al otro ejercicio, estoy de acuerdo contigo en que debe ser una aplicación del lema de Borel-Cantelli. Pero no lo tengo tan claro, debo pensarlo.

Saludos


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Re: Principio de inclusión y exclusión y sucesos mutuamente independientes

« Respuesta #2 : 24/06/2012, 05:56:24 pm »

Muchísimas gracias, PabloN :guiño:

El segundo seguiré pensándolo también.

Saludos


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pabloN

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Re: Principio de inclusión y exclusión y sucesos mutuamente independientes

« Respuesta #3 : 24/06/2012, 06:36:26 pm »

Bueno, respecto al otro ejercicio no sé si es necesario aplicar el lema de Borel-Cantelli. Prueba que si $\{A_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ es una colección cualquiera de sucesos, se cumplen estas dos identidades:

(1) $P\big(\bigcup_{i=1}^{+\infty}A_i\big)={\displaystyle \lim_{n\to +\infty}}P\big(\bigcup_{i=1}^nA_i\big)$

(2) $P\big(\bigcap_{i=1}^{+\infty}A_i\big)={\displaystyle \lim_{n\to +\infty}}P\big(\bigcap_{i=1}^nA_i\big)$

Sugerencia: usar el teorema de continuidad de la probabilidad. Entonces para la intersección, aplicando (2):

${P\big(\bigcap_{i=1}^{+\infty}A_i\big)={\displaystyle \lim_{n\to +\infty}}P\big(\bigcap_{i=1}^nA_i\big)={\displaystyle \lim_{n\to +\infty}}\prod_{i=1}^{n}P(A_i)={\displaystyle \lim_{n\to +\infty}}\prod_{i=1}^{n}p={\displaystyle \lim_{n\to +\infty}}p^n=\begin{Bmatrix} 1 & \mbox{ si }& p=1\\0 & \mbox{si}& p<1\end{matrix}}$

Análogamente, para la unión se tiene por (1):

${P\big(\bigcup_{i=1}^{+\infty}A_i\big)={\displaystyle \lim_{n\to +\infty}}P\big(\bigcup_{i=1}^nA_i\big)={\displaystyle \lim_{n\to +\infty}}\sum_{j=1}^n (-1)^{j-1}\binom{n}{j}p^j={\displaystyle \lim_{n\to +\infty}}1-(1-p)^n}$

Concluye :sonrisa_amplia:

.

Saludos


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Re: Principio de inclusión y exclusión y sucesos mutuamente independientes

« Respuesta #4 : 24/06/2012, 06:57:59 pm »

Cita de: pabloN en 24/06/2012, 06:36:26 pm

.

Saludos

¡Increíble! Aplauso

¡Muchas gracias!

En el segundo de la unión me pierdo cuando pones lo números combinatorios, pero el primero ya lo tengo claro.

Saludos


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pabloN

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Re: Principio de inclusión y exclusión y sucesos mutuamente independientes

« Respuesta #5 : 24/06/2012, 07:08:55 pm »

Cita de: Gaussa en 24/06/2012, 06:57:59 pm

En el segundo de la unión me pierdo cuando pones lo números combinatorios, pero el primero ya lo tengo claro.

Usé dos cosas: el principio de inclusión-exclusión (que probamos en el primer post), y que los sucesos son independientes entre sí, por lo que la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades. Si te queda duda aún, pregunta.


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Re: Principio de inclusión y exclusión y sucesos mutuamente independientes

« Respuesta #6 : 24/06/2012, 07:29:20 pm »

Cita de: pabloN en 24/06/2012, 07:08:55 pm

Cita de: Gaussa en 24/06/2012, 06:57:59 pm

En el segundo de la unión me pierdo cuando pones lo números combinatorios, pero el primero ya lo tengo claro.

Ya lo vi, me costó pasar la forma del principio inclusión-exclusión a números combinatorios :sonrisa_amplia:

Ahora me queda el último paso:
$\lim_{n\to +\infty}}P\big(\bigcup_{i=1}^nA_i\big)={\displaystyle \lim_{n\to +\infty}}\sum_{j=1}^n (-1)^{j-1}\binom{n}{j}p^j={\displaystyle \lim_{n\to +\infty}}1-(1-p)^n$

Mmm... en estos pasos con sumatorios casi siempre me suelo quedar y me fastidian los problemas...

Muchas gracias :guiño:


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pabloN

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Re: Principio de inclusión y exclusión y sucesos mutuamente independientes

« Respuesta #7 : 25/06/2012, 12:22:55 am »

Aplica el binomio de Newton :guiño:

Cita de: Gaussa en 24/06/2012, 07:29:20 pm

Ya lo vi, me costó pasar la forma del principio inclusión-exclusión a números combinatorios :sonrisa_amplia:

La fórmula del principio de inclusión exlcusión es:

${P\big(\bigcup_{i=1}^nA_i\big)=\sum_{1\leq i\leq n}P(A_i)-\sum_{1\leq i<j\leq n}P(A_i\cap A_j)+\cdots+(-1)^{n-1}P(A_1\cap \cdots \cap A_n)}$

Nota que en $\sum_{1\leq i\leq n}P(A_i)$ hay $\binom{n}{1}$ sumandos, en $\sum_{1\leq i<j\leq n}P(A_i\cap A_j)$ hay $\binom{n}{2}$ sumandos y así hasta llegar a la última sumatoria en que hay $\binom{n}{n}$ sumandos, es decir, uno solo. Dicho sumando es $P(A_1\cap \cdots \cap A_n)$ .

Saludos


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Re: Principio de inclusión y exclusión y sucesos mutuamente independientes

« Respuesta #8 : 25/06/2012, 04:28:03 am »

¡Muchas gracias!

Saludos


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