Propiedad de conexos y compactos

[maria ailen_23]

Hola! por favor, necesito ayuda para demostrar lo siguiente:

1) Demostrar que  un subconjunto A de un espacio métrico es conexo si y solo si, en cada descomposición de A en dos partes disjuntas, cada una de ellas tiene puntos de acumulación de la otra.

2) Sea . Probar que los únicos puntos de acumulación de M son los puntos del conjunto y como consecuencia, deducir que es compacto.

En 1) Comencé suponiendo que A es no conexo, entonces existen cerrados en
Pregunta: Tendría que probar que si no es punto adherente de A?

Para el 2) probé usando sucesiones, pero no llegué a nada. 

Desde ya les agradezco cualquier aporte! 

[Tanius]

en cada descomposición de A en dos partes disjuntas

¿Qué significa matemáticamente esto?

Un saludo 

[maria ailen_23]

y matemáticamente sería expresarlo a A como unión de dos conjuntos disjuntos. Al menos eso es lo que yo entiendo. 

[Tanius]

1) Demostrar que  un subconjunto A de un espacio métrico es conexo si y solo si, en cada descomposición de A en dos partes disjuntas, cada una de ellas tiene puntos de acumulación de la otra.

Usa que dos conjuntos disjuntos que no tienen puntos de acumulación en común, tienen clausuras disjuntas.

Igual en un rato me explayo más.

Un saludo 

[maria ailen_23]

Hola Tanius! Entonces allí me convendria pensar lo siguiente:
Si fuera entonces
 y llegar a una contradicción.

Estoy en lo correcto??? llega un momento en que dudoo de tooodoo!!!!   

[Tanius]

Sea el espacio métrico y . Si existiera una descomposición con con estos dos conjuntos disjuntos y sin puntos de acumulación en común, sería .

Dicho de otro modo, . Nota que éstos dos conjuntos son abiertos.

Se tiene entonces lo siguiente:

- y

-

-

Se sigue que es disconexo.

Un saludo 

[maria ailen_23]

no entiendo tu notación

 . 

 

[Tanius]

[maria ailen_23]

ahh!! Ok. Ahora si lo comprendo, pero sinceramente no se me hubiera ocurrido escribirlo de esa manera.
Pregunta:¿Podria demostrarla como propuse?
 Y nuevamente muchisimas graciaas por la atención! 

[Tanius]

Espera, tengo un error. En realidad no se puede decir que las clausuras son disjuntas. Lo volveré a pensar.

[Tanius]

Es que la proposición está rara. Tal y como estamos planteando lo de "partes disjuntas", el problema es falso. Por ejemplo,  el intervalo cerrado es conexo en y tiene una "descomposición en partes disjuntas" , pero no es cierto que la "parte" tenga puntos de acumulación de .

Quizá lo estoy interpretando mal, es que la verdad el enunciado me resulta confuso. Este es el problema de querer enunciar cosas con el vocabulario español estándar y no matemáticamente. En lo personal, yo reclamaría esto a tu profesor  

Un saludo 

[maria ailen_23]

"La vuelta" de 1) es cierta... se prueba facilmente por el contrarrecíproco. Usando simplemente una caracterización de conjuntos no conexos. El problema está en "la ida". (justamente la parte en que me mostraste el caso particular donde no se cumple).
Mañ te cuento qué me dice mi prof.
Graciaaas por la ayuda Tanius!!! 

[maria ailen_23]

Para probar el 2) que dice:
" Sea . Probar que los únicos puntos de acumulación de M son los puntos del conjunto y como consecuencia, deducir que es compacto."


Pensé lo siguiente:
Si es punto de acumulación de M se cumple que

Por lo tanto

Y además y
En consecuencia y
Y entonces
¿Alguna sugerencia para llegar a que los a es punto de acumulación pertenecen a

[maria ailen_23]

Hola Tanius! hablé con mi profe y sí, esta mal expresado el enunciado de lo que hay que probar. Yo terminé demostrando que:
"Dado un (X,d) espacio vectorial
 A es conexo si y solo si con se tiene o "

Cuando en realidad lo que me pedia era
"Dado un (X,d) espacio vectorial
 A es conexo si y solo si con se tiene "

[Tanius]

Pff, es que eso de nuevo es falso. Por ejemplo, es conexo, y si y se tiene que , , , pero .

Un saludo 

[maria ailen_23]

HUf!!!!!!!!!!!!! 

[argentinator]

Hola! por favor, necesito ayuda para demostrar lo siguiente:

1) Demostrar que  un subconjunto A de un espacio métrico es conexo si y solo si, en cada descomposición de A en dos partes disjuntas, cada una de ellas tiene puntos de acumulación de la otra.

 

Si A es conexo, y si A es unión de dos conjuntos disjuntos no vacíos B, C, entonces tiene que ocurrir que, o bien o bien .

En consecuencia, dado que , y dado que , entonces, o bien contiene puntos de , o bien contiene puntos de .

Pero no tiene por qué ser cierto que ocurran ambas cosas a la vez.

Y los ejemplos de Tanius muestran que esto efectivamente puede no ocurrir.

La recíproca también implica claramente la conexidad.

Saludos

[maria ailen_23]

Hola Argentinator, desde ya muchisimas gracias por responder. 

Hay algo que no comprendo, ¿por qué dices:
"Si A es conexo, y si A es unión de dos conjuntos disjuntos no vacíos B, C, entonces o bien " ?   

yo no veo claramente esa implicación. 

[argentinator]

Es la negación de ser no-conexo.

Si A es no-conexo, existe un par de conjuntos B, C, disjuntos no vacios, cuya unión es A, y tal que .

En símbolos, esto es:

no-conexo .

Si ahora negamos esto, hay que negar el cuantificador, lo que conduce a:


  conexo


Al cuantificador le he "colgado" varias cosas antes del signo de ":", pero eso es válido desde un punto de vista lógico, aunque no sé si hace falta que lo explique..., es una manera informal de evitar el uso estricto de notación de ciertos conjuntos que no viene al caso especificar.

[maria ailen_23]

Demasiado claro!!! Gracias.