Módulo que no es de torsión tal que todo cociente es de tipo finito con torsión.

[numbsoul]

Sea un dominio de ideales principales y sea un -módulo que no es de torsión y tal que es de tipo finito con torsión para todo submódulo .Probar que .

Si fuera ,entonces sería sin torsión.Por lo tanto no tiene elementos de torsión.

Ahora quisiera probar que es de tipo finito.De ahí resultará que es libre y necesariamente tendrá base de cardinal uno.

Creo que aquí he de usar que cada cociente es de tipo finito.

[numbsoul]

¿Cómo demuestro que si no es de tipo finito,existe un cociente que no lo es?

Espero sugerencias 

[numbsoul]

Considero y .Sean un conjunto de generadores de .

Dado ,se tiene que ,es decir,,con lo cual para .

Luego es de tipo finito y es un conjunto de generadores.