Hallar una base del Kernel e Imagen

[Hernan_ER]

Hola. El ejercicio me pide hallar una base del Kernel e Imagen teniendo la siguiente informacion:

tal que





Bueno, mi idea es recuperar la formula general de la transofmacion lineal y luego hallar las condiciones de los vectores cuyas imágenes sean cero y a ese conjunto hallarle un generador LI (base). Pero quisiera saber si existe algún método que sea mas rápido y no esté tomando en cuenta.

Muchas gracias.

[HernanV]

Observa que el rango de la matriz es 1. Por ende, la dimensión de la imagen es 1 y está generada por la única columna LI de la matriz. Por otro lado, el núcleo de la TL está generado por los vectores que verifican , los cuales salen a ojo y tienen que ser 2 por el teorema de la dimensión.

Cuando obtienes esa información, tienes todo en base . Sólo te resta pasar a base canónica.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Si denotas por a las coordenadas de un vector en la base , entonces . Una base de (en coordenadas en ) te dará . Los auténticos vectores de la base son por tanto y . Ahora basta que sustituyas por etc.

P.D. Se cruzó mi mensaje con el de HernanV. Lo dejo por si también puede ser útil.

[Hernan_ER]

Observa que el rango de la matriz es 1. Por ende, la dimensión de la imagen es 1 y está generada por la única columna LI de la matriz. Por otro lado, el núcleo de la TL está generado por los vectores que verifican , los cuales salen a ojo y tienen que ser 2 por el teorema de la dimensión.

Cuando obtienes esa información, tienes todo en base . Sólo te resta pasar a base canónica.

Saludos.

Ahh si, el de la imagen es inmediato. Cuando haces  es encontrar la transformacion de los vectores cuya imagen es cero en la base B? Quedaria:



entonces los vectores que verifican son aquellos de la forma:




Muchas gracias a ambos!

PD: Lo que no me queda muy claro es que siempre haces el producto de la matriz asociada con un vector. No me queda claro qué es lo que hallas ahi. ¿Coordenadas? ¿Vectores? ¿La transformación? Ademas dijiste los vectores V que verifican  pero ahi el V no se supone que son coordenadas y no vectores?

[Hernan_ER]

Si denotas por a las coordenadas de un vector en la base , entonces . Una base de (en coordenadas en ) te dará . Los auténticos vectores de la base son por tanto y . Ahora basta que sustituyas por etc.

P.D. Se cruzó mi mensaje con el de HernanV. Lo dejo por si también puede ser útil.

Pero ¿por que trabajas con un conjunto que es base cuyos elementos son COORDENADAS y no VECTORES?

  (en coordenadas en ) te dará

son coordenadas!! no entiendo nada.. me entrevere mucho mas... 

[Hernan_ER]

Ya lo entendí. Gracias!

[Hernan_ER]

Pongo otro ejemplo para que verifiquen si lo he entendido bien:



tal que







OK, planteo el producto de la matriz asociada por LAS COORDENDAS DE UN POLINOMIO EN C y debe ser igual a las coordenadas nulas (lo que debo plantear es la matriz por las coordenadas de un polinomio en su base y obtengo las coordenadas de esa transformacion en la base B que en este caso debe ser las coordenadas nulas, ¿no?):



Me da como resultado que solamente el polinomio nulo pertenece al Kernel EN LA BASE C pero al ser solamente el nulo entonces el Kernel en canonica es el nulo y su dimension es 1. Por lo tanto la imagen debe tener dimension 3. Una base de la imagen, por lo tanto, son las columnas de la matriz.

Ahora, el mismo vector nulo es generador del Kernel, ¿no? Me llama la atencion haber prescindido de las bases que me dio como informacion.

Me interesa mas que verifiquen lo que esta en rojo

[slogrado]

El planteo en rojo es correcto.
Sin embargo discrepo con lo que dices acerca de la Imagen de T. La Imagen de T corresponde a un conjunto de Matrices y por lo tanto su base debe estar integrada por matrices.

[Hernan_ER]

Ah si, tenes razón, las columnas generan a la Imagen en la base B, tengo que pasarlas a canonicas. Gracias

[Hernan_ER]

Observa que el rango de la matriz es 1. Por ende, la dimensión de la imagen es 1 y está generada por la única columna LI de la matriz. Por otro lado, el núcleo de la TL está generado por los vectores que verifican , los cuales salen a ojo y tienen que ser 2 por el teorema de la dimensión.

Cuando obtienes esa información, tienes todo en base . Sólo te resta pasar a base canónica.

Saludos.

Pero entonces te has equivocado al decir que la imagen es generada por la columna de la matriz. Lo que si es cierto es que esta generada pero respecto a B, luego habria que pasarla a la canonica.

En el primer ejemplo genera a la imagen de T respecto a la base B pero en realidad la base posta respecto a la canonica es:



es base de la Imagen. NO la columna.

[Hernan_ER]

En el segundo ejemplo, las columnas de la matriz generan a la Imagen respecto a la base B:



Pero en la canónica el generador (base) de la imagen es:



Yo te habia entendido que la columna ya era la base pero ahora veo que cuando al final dijiste "tienes todo en base B" pense que solo te referias al nucleo pero ahora veo que tambien incluiste la imagen. Lo que si creo que le pifiaste fue al decir los vectores V que verifican... (en realidad son coordenadas)

Muchas gracias tocayo

[HernanV]

¿Y las coordenadas no son vectores a caso?.

Saludos!.

[Hernan_ER]

Las coordenadas son n-uplas (o sea son los coeficientes ordenados) pero un vector va mas allá de eso (una matriz es un vector de un espacio pero las coordenadas siguen siendo n-uplas). A eso me refiero yo.

Gracias