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HOLA GENTE!!!!!!!!!! :guiño:

necesito de vuestra ayuda con el siguiente problema de razón de cambio.

En un rectángulo la base disminuye con una rapidez $0,25 \quad cm/s$ y la altura aumenta con una rapidez de $0,5 \quad cm/s$ ¿A que razón está cambiando la longitud de la diagonal cuando la base es de

y la altura es de

? ¿la diagonal aumenta o disminuye?

Datos del problema

$\begin{Bmatrix} \displaystyle\frac{dx}{dt}= -0,25 \quad cm/s\\ \\\displaystyle\frac{dy}{dt}=0,5 \quad cm/s\end{matrix}$ LLamando

a la diagonal, debo averiguar $\displaystyle\frac{dg}{dt}$ .

Como $\displaystyle\frac{dg}{dt}=\displaystyle\frac{dg}{dx} \cdot \displaystyle\frac{dx}{dt}$ lo cual es igual a $\displaystyle\frac{dg}{dt}=\displaystyle\frac{dg}{dx} \cdot (-0,25 \quad cm/s)$

Por Pitágoras: tenemos que

Despejo $g=\sqrt[ ]{x^2+y^2}$ antes de derivar, como nos interesa la razón de cambio de la diagonal cuando la altura $y=4 \quad cm/s$ entonces

$d=\sqrt[ ]{x^2+16}$ derivo miembro a miembro respecto de

: $\displaystyle\frac{dg}{dx}=\displaystyle\frac{1}{2} \cdot (x^2+16)^{-1/2} \cdot 2x$

Luego $\displaystyle\frac{dg}{dx}=\displaystyle\frac{2x}{2 \cdot \sqrt[ ]{x^2+16}}=\displaystyle\frac{x}{\sqrt[ ]{x^2+16}}$

Como me interesa cuando

, entonces $\displaystyle\frac{dg}{dt}=\displaystyle\frac{3 \quad cm}{5 \quad cm}=\displaystyle\frac{3}{5}$

Luego $\displaystyle\frac{dg}{dt}=\displaystyle\frac{3}{5} \cdot (-0,25 \quad cm/s)= -\displaystyle\frac{3}{20}\quad cm/s$

La diagonal disminuye a razón de $-\displaystyle\frac{3}{20}\quad cm/s$

Quisiera saber si está bien. y si hay una forma diferente para hacerlo, ya que no use nunca los datos
$\begin{Bmatrix} \displaystyle\frac{dx}{dt}= -0,25 \quad cm/s\\ \\\displaystyle\frac{dy}{dt}=0,5 \quad cm/s\end{matrix}$

GRACIAS!! :guiño:

	Autor	Tema: Razón de cambio (Leído 52 veces)
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