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navajo

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Integración triple

« : 18/06/2012, 02:19:01 pm »

¿Podéis ayudarme?
Calcular la integral triple de esta funcion

sobre la región $\omega$ limitada por el cono $z=\sqrt{x^2+y^2}$ y plano

Sería así?

$\displaystyle\int_{0}^{2} \displaystyle\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}} \displaystyle\int_{\sqrt{(x^2-y^2)}}^{2} 1+(x^2+y^2)^2 \; dz\;dy \; dx$


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alucard

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Re: Integración triple

« Respuesta #1 : 18/06/2012, 06:40:46 pm »

Los límites son, para z

$\sqrt[ ]{x^2+y^2}<z<2$

para y

$\sqrt[ ]{x^2+y^2}<2\Longrightarrow{-\sqrt{2-x^2}<y<\sqrt[ ]{2-x^2}}$

para x

$0<\sqrt[ ]{2-x^2}}\Longrightarrow{-\sqrt{2}<x<\sqrt[ ]{2}}$

Nó se si viste coordenadas cilíndricas, lo limites serian

$r<z<2\quad 0<r<2 \quad 0<\theta<2\pi$

finalmente

$\\\displaystyle\int_{\red- 2}^{\red 2}\displaystyle\int_{-\sqrt{\red 4\black-x^2}}^{\sqrt{\red 4\black-x^2}}\displaystyle\int_{\sqrt{(x^2+y^2)}}^{2} 1+(x^2+y^2)^2dzdydx=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{r}^{2} 1+(r^2)^2 rdzdrd\theta$

Editado


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Gustavo

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Re: Integración triple

« Respuesta #2 : 18/06/2012, 08:51:17 pm »

La proyección de $\omega$ sobre el plano xy es un círculo centrado en el origen y radio 2.

Luego, la integral a calcular es:

$\displaystyle\int_{-2}^{2} \displaystyle\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \displaystyle\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{2} 1+(x^2+y^2)^2 \; dz\;dy \; dx$

alucard, esto

Cita de: alucard en 18/06/2012, 06:40:46 pm

$\sqrt[ ]{x^2+y^2}<2\Longrightarrow{-\sqrt{2-x^2}<y<\sqrt[ ]{2-x^2}}$

no es correcto. :guiño:


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alucard

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Re: Integración triple

« Respuesta #3 : 18/06/2012, 10:48:23 pm »

Si tenes razón gustavo, pasa que en mi dimensión

ahora edito, gracias por corregir


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navajo

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Re: Integración triple

« Respuesta #4 : 19/06/2012, 01:19:35 pm »

Muchas gracias a los dos. Un Saludo


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Elzurdo

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Re: Integración triple

« Respuesta #5 : 19/06/2012, 01:52:15 pm »

No sería así : $\displaystyle\int_{-2}^{2} \displaystyle\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \displaystyle\int_{0}^{\sqrt{x^2+y^2}} 1+(x^2+y^2)^2 \; dz\;dy \; dx$ , fijado un punto del plano

varia entre

y $\sqrt{x^2+y^2}$ .

PD: Suponiendo que el órden de integración sea x-y-z.


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Re: Integración triple

« Respuesta #6 : 19/06/2012, 01:58:53 pm »

No se yo... :¿eh?:


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Re: Integración triple

« Respuesta #7 : 19/06/2012, 02:02:45 pm »

Cita de: Elzurdo en 19/06/2012, 01:52:15 pm

No sería así : $\displaystyle\int_{-2}^{2} \displaystyle\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \displaystyle\int_{0}^{\sqrt{x^2+y^2}} 1+(x^2+y^2)^2 \; dz\;dy \; dx$ , fijado un punto del plano

varia entre

y $\sqrt{x^2+y^2}$ .

PD: Suponiendo que el órden de integración sea x-y-z.

No. Ahí estarías hallando la integral para la región que está entre el plano xy y el cono, pero el problema dice

Cita de: navajo en 18/06/2012, 02:19:01 pm

Calcular la integral triple de esta funcion

sobre la región $\omega$ limitada por el cono $z=\sqrt{x^2+y^2}$ y plano


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Re: Integración triple

« Respuesta #8 : 19/06/2012, 02:09:48 pm »

Ahh vale vale , despiste mio.


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