Diferenciabilidad - dervivadas parciales

[Zhisi]

Hola, estoy con el siguiente ejercicio pero no consigo obtener el resultado correcto, el enunciado dice lo siguiente:

Dada la función siendo g y h funciones de clse , comprobar que se cumple la ecuación:

He procedido del siguiente modo:



donde:

 

Hago lo mismo con las otras dos derivadas y obtengo el siguiente resultado final:




Lo primero no se muy bien que significa



¿g evaluada en -y/x ó g en función de x e y? yo he supuesto esto último, y por tanto al derivar aplicaba la regla de la cadena y por eso aparecen las derivadas 

y después ¿cómo hago que todo eso sea igual a cero?


Muchas gracias.

[lindtaylor]

es evaluada en pero puedes hacer que con y así derivar con la regla de la cadena.

[Zhisi]

Y entonces ¿cómo hago para demostrar la igualadad?

Gracias.

[Zhisi]

¿Alguna sugerencia?

Gracias

[Fernando Revilla]

¿Alguna sugerencia?

Puedes organizarte descomponiendo siendo y . Por ejemplo:

[Zhisi]

Bien, entonces ahora hago lo mismo con y después procedo igual pero derivando respecto a , y obtengo lo siguiente







y si sustituyo eso en la igualdad siguiente



no se anula ni un sólo término. Por ejemplo sólo tenemos debido a , ninguna de las otras derivadas da un término con una derivada segunda respecto a equis, por lo que no se puede anular  . Lo mismo sucede con el resto de términos de la igualdad.

Supongo que hay algo quee no hago bien o que no entiendo y por eso no obtengo el resultado esperado, pero no veo la solución por más vueltas que le doy. También se lo he preguntado al profesor, pero se limita a decir que es muy fácil y que tengo que saber hacerlo y por más que insisto parece que siempre tiene cosas mejores que hacer.

Un saludo y gracias.

[Fernando Revilla]

Supongo que hay algo quee no hago bien o que no entiendo y por eso no obtengo el resultado esperado, pero no veo la solución por más vueltas que le doy.

Tenemos una alternativa mejor sin usar "fuerza bruta". Observa que la función dada es homogénea de grado 1. De acuerdo con el teorema de Euler, . Derivando esta igualdad respecto de e y usando ( es de clase 2) obtenemos:

También se lo he preguntado al profesor, pero se limita a decir que es muy fácil y que tengo que saber hacerlo y por más que insisto parece que siempre tiene cosas mejores que hacer.

Tal vez debería haber dado una sugerencia, por ejemplo: observar una cierta característica de la función.

[Zhisi]

enemos una alternativa mejor sin usar "fuerza bruta". Observa que la función dada [f(x,y)=xg(-y/x)+yh(y/x)] es homogénea de grado 1. De acuerdo con el teorema de Euler, [xf_x+yf_y=f] . Derivando esta igualdad respecto de

• e [y] y usando [f_{xy}=f_{yx}] ( [f] es de clase 2) obtenemos:

Bueno, parece que tengo lagunas:
No se que es una función homogénea de grado 1, lo he buscado en la wikipedia y no lo entiendo. (Estoy seguro que no lo hemos visto en clase y en los apuntes que nos dan, no aparece).
Desconozco el teorema de Euler. (No me suena haberlo visto en calse y en los apuntes tampoco aparece, al menos como teorema de Euler).

Al menos sé qué siginifica que una función sea de clase 2.

El desarrollo (obviando lo que comento más arriba) lo entiendo, excepto el último paso, no consigo que me salga 0.

Muchas gracias.

[Fernando Revilla]

No se que es una función homogénea de grado 1, lo he buscado en la wikipedia y no lo entiendo. (Estoy seguro que no lo hemos visto en clase y en los apuntes que nos dan, no aparece). Desconozco el teorema de Euler. (No me suena haberlo visto en calse y en los apuntes tampoco aparece, al menos como teorema de Euler).

En tal caso, comprueba directamente que (no es largo). A partir de esa igualdad, procede como te dije en mi mensaje anterior.

El desarrollo (obviando lo que comento más arriba) lo entiendo, excepto el último paso, no consigo que me salga 0.

Tenemos



Ahora, a la primera ecuación multiplicada por súmale la segunda multiplicada por .

[Zhisi]

Al comprobar obtengo lo siguiente:



y no sé cómo seguir.

Siento ser tan cansino.

Muchas gracias

[Fernando Revilla]

No estás derivando bien. Por ejemplo

[Zhisi]

Es lo mismo que he puesto, pero sin simplicar, con los argumentos de cada función (los he obviado) y poniendo prima en lugar del subíndice x en las derivadas
 

[Fernando Revilla]

Es lo mismo que he puesto, pero sin simplicar, con los argumentos de cada función (los he obviado) y poniendo prima en lugar del subíndice x en las derivadas
 

Con esa desafortunada notación, no vas a conseguir demostrar que . Veamos, ¿a qué es igual ?

[Zhisi]

Perdón por no responder antes.

Con esa desafortunada notación, no vas a conseguir demostrar que [xf_x+yf_y=f] . Veamos, ¿a qué es igual [yf_y] ?

¿?

Lo siento pero no consigo entender a donde quieres llegar. Si me pudieras explicar cómo solucionarlo quizá así consiga entender el ejercicio.

Gracias.