Integral impropia

[Gaussa]

Hola.

Tengo que estudiar la convergencia de la siguiente integral:



En mis apuntes la tengo resuelta, y para ello hace


 
Entre 0 y 1 se sabe que converge, y para verlo entre 1 e infinito aplica integración por partes. Le queda estudiar la convergencia de

Ve que es absolutamente convergente aplicando el criterio de comparación por paso al límite con , por lo que es convergente.

Pero antes de verlo resuelto, lo que yo intentaba hacer era probar que la integral pedida es absolutamente convergente, sin hacer integración por partes ni nada de eso.

, al ser positiva por el valor absoluto, puedo compararlo con

, que es el producto de una que converge a cero y otra que está acotada, por lo que converge.

Sé que lo que hago debe estar mal, porque de lo contrario supongo que el ejercicio vendría resuelto como lo he hecho yo, que es más sencillo porque no hace falta integrar. Así que me gustaría encontrar mi error o mis errores.

Saludos y muchas gracias

[HernanV]

Yo hubiera usado el lema de Abel, es directo.

[Gaussa]

Hola, muchas gracias.

¿Lema de Abel? No lo he dado, aunque voy a buscarlo por internet para saber qué dice.

Saludos

[HernanV]

Buscalo como "criterio de Abel", aparece en los primeros resultados .

[Gaussa]

Hola. Muchas gracias, ya lo encontré 

Entonces tomo ,

Y , , que es acotada.

Entonces se verifica el criterio de Abel, por lo que es absolutamente convergente, y por lo tanto, converge.

De ser así, ¿por qué en mis apuntes no intenta probar lo mismo y tiene que calcular la integral por partes?¿estaría bien entonces lo que he hecho?

Saludos

[HernanV]

Ojo que al acotar la integral no se considera el diferencial! No sé por qué lo escribís en cada expresión.

Las funciones que consideraste están bien, sólo que debes usar y no por lo que te comenté al principio.

Supuestamente no viste el criterio de Abel, ¿verdad?. Debe ser por eso imagino que en tus apuntes no lo usa. Es mucho más sencillo que integrar por partes, ¿no te parece?.

[Gaussa]

Ojo que al acotar la integral no se considera el diferencial! No sé por qué lo escribís en cada expresión.

En el primer mensaje se me pasó y lo metí dentro de valor absoluto, y en este último ha sido al copiar y pegar, pero sé que no debe escribirse así, no me había dado cuenta de que lo estaba poniendo 

Supuestamente no viste el criterio de Abel, ¿verdad?. Debe ser por eso imagino que en tus apuntes no lo usa. Es mucho más sencillo que integrar por partes, ¿no te parece?.

No, en mis apuntes sólo vienen para integrales impropias el teorema de comparación y el de paso al límite. Y si la función tiene signo variable, pues hay que mirar si absolutamente convergente como en el ejercicio este.

Sí, es bastante más sencillo y rápido. El problema es que al no venir en mis apuntes y no haberlo explicado el profesor en clase, no creo que me deje usarlo en el examen. Aunque siempre viene bien saberlo, y supongo que en otro curso lo deberé ver 

Saludos

[HernanV]

Si estás a tiempo todavía, preguntale a tu profesor si lo podés usar o no!.

[Gaussa]

Si estás a tiempo todavía, preguntale a tu profesor si lo podés usar o no!.

Sí, preguntaré, todavía estoy a tiempo 

Aunque ya por curiosidad, ¿lo que hice en el primer mensaje está mal? Lo de usar . Es que de estar bien, sería también directo y no sería necesario hacer lo que viene en mis apuntes resuelto, que, aunque es sencillo, es más largo.

Saludos

[HernanV]

Sí! Está bien! .