Determinar si existe una transformación lineal que satisfaga lo siguiente

[Hernan_ER]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:


Primero verifiqué que las transformaciones dadas no están dadas sobre una base de los polinomios de grado 2:







El sistema es LD por lo tanto no es base. ¿Entonces cómo me podría construir la transformación lineal? Si saco vectores y me formo una base de los polinomios de grado 2 y determino la TL con esa base, ¿seria correcto? Por ejemplo, eliminar el primer vector (polinomio de termino independiente 1) pero el tema es que ahí pierdo datos de la TL. Muchas gracias.

[numbsoul]

Recuerda que una tranformación lineal queda unívocamente determinada por los valores que toma en una base del dominio.

Ahora bien,el conjunto es una base de .
Podías prescindir de esa cuenta observando que el espacio tiene dimensión y por lo tanto un conjunto de más de tres vectores siempre será linealmente dependiente.

Lo que debes hacer es escribir el polinomio como combinación lineal de los elementos de la base anterior,aplicar y ver si se cumple la igualdad.

Tenemos .

De aquí que .

Luego .

[Hernan_ER]

Ahhh te entiendo perfecto. Muchas gracias

[Hernan_ER]

Cuando dice hallarlas todas, simplemente lo dice para entreverar ¿no? Puesto que una TL determinada por la base es única.

[Hernan_ER]

Ahora que lo veo bien, si descarto otro vector distinto al que vos descartaste, voy a obtener otra transformación lineal, ¿verdad?

[Tanius]

Ahora que lo veo bien, si descarto otro vector distinto al que vos descartaste, voy a obtener otra transformación lineal, ¿verdad?

Si el conjunto resultante es una base, no. Recuerda lo que te dijo numbsoul; una transformación lineal queda determinada por los valores que toma en una base del dominio. En particular, si dos transformaciones lineales coinciden en los elementos de una base del dominio, entonces serán la misma transformación lineal.

Un saludo 

[Hernan_ER]

Entonces no entiendo por qué en varios ejercicios me piden determinar la cantidad de TL posibles. Citando:



Especialmente en el ejercicio 2 - 2 y ejercicio 3 - 3 es donde hay conjuntos LD.
Si los profesores querían entreverar lo lograron... 

[Tanius]

En el caso del ejercicio 2-2 sólo hay una trasformación lineal que cumple esas codiciones, ya que si fuese otra transformación que cumple esas condiciones, en particular y coinciden en los elementos de la base , luego . Quizá sea el mismo caso para el problema 3-3, trata de ver si puedes extrar una base del conjunto .

Un saludo 

[Hernan_ER]

¿Pero no podría pasar que al descartar el primer vector (termino independiente 1) en vez de descartar el que descartó numbsoul podría obtener otra transformación lineal? ¿O al menos otra expresión? O siempre es la misma?

Gracias.

[Tanius]

¿Pero no podría pasar que al descartar el primer vector (termino independiente 1) en vez de descartar el que descartó numbsoul podría obtener otra transformación lineal? ¿O al menos otra expresión? O siempre es la misma?

Es que sólo hay una transformación lineal para el ejercicio 2-2, y la razón de ello es lo que dije en mi mensaje anterior. Lo que hizo numbsoul es quitar el último elemento para trabajar con una base de . Si descartas otro elemento de tal manera que también obtengas otra base, y apartir de ahí defines una transformación lineal que cumpla las mismas condiciones, entonces tiene que ser la transformación que construyó numbsoul (porque sólo hay una).

Un saludo