Tu demostración me parece un poco rara; supongo que
es un grupo topológico cualquiera y
un subgrupo normal, pero no especificas qué topología estás considerando para
. Revisando por ahí un poco, he de asumir que defines una topología de manera natural como lo siguiente: sea
la proyección natural definida mediante
para todo
, entonces
es abierto si y sólo si
es abierto.
Por otro lado:
Supongamos que
Debo probar que
es abierto en el conjunto de llegada.
¿Esto por qué? Si quieres ver que
es continua, debes considerar un conjunto abierto arbitrario del contradominio y ver que su imagen inversa es un abierto del dominio. Otra forma es simplemente trabajar con la definición (que es la que usaré después).
Ahora se tiene que
por hipótesis, entonces
abierto en
¿Quién es
? ¿Y por qué escribes
?
Si
y
es un abierto que contiene a
, entonces por la definición de topología en
se tiene que
es abierto, y además
. Sean
y
abiertos en
tales que
y
. Luego entonces
es un conjunto abierto en
que verifica
y
.
Esto prueba la continuidad de
en
.
Un saludo
