Lios con NFA

[Sailor Starruler]

En principio NFA tiene 4 axiomas (en su formalización corta), que son comprehension, pares, átomos, y extensión. Mi primera duda surge ya con el axioma de pares. En el árticulo de la Revista del Foro, se afirma que el axioma de pares afirma la existencia de pares estratificados nivelados. No afirma nada sobre pares no estratificados. Sin embargo, en el libro de Holmes por lo que creo entender, afirma la existencia del par   para cualesquier objetos    y  de la teoría, no necesariamente del mismo tipo

La teoría se enriquece con el axioma de infinito y con el de elección, aunque parece ser que de la existencia de pares se deduce el axioma de infinito, que en el libro de Holmes se presenta como teorema en una forma un tanto curiosa, afirmando que el conjunto vacio no es un número natural, que viene a ser con la definición de número natural que se usa, decir que todo número tiene un siguiente. Por otro lado, si consideramos NFA + el axioma de elección y de infinito (por lo que se dice en el articulo de Ivorra ), el axioma de pares no es necesario pues se demuestra la existencia de pares nivelados.

Por otro lado, NFA+ AE+ AI es consistente si lo es NFA (esto creo que lo he leido en la pagina web de Holmes). Creo que también NFA+AE+AI+AC (áxioma de computo) es relativamente consistente con respecto a NFA, aunque no sé ya si me he hecho un lío al respecto. Con estos axiomas se puede demostrar la existencia de los números reales (que Holmes construye a través de las cortaduras de Dedekind)

Con respecto a esto último, tengo otra duda, igual que el áxioma de elección es clave en el ánalisis construido en ZF, su admisión provoca por ejemplo la existencia de conjuntos no medibles, que no es posible demostrar sin él , garantiza (creo) la existencia de bases infinitas para los espacios vectoriales infinitos, y supongo que muchas más cosas, no puede provocar el trabajar en NFA+AE+AI+AC con respecto a ZFC alguna diferencia substancial en alguna cuestión importante del ánalisis.

[Carlos Ivorra]

En principio NFA tiene 4 axiomas (en su formalización corta), que son comprehension, pares, átomos, y extensión. Mi primera duda surge ya con el axioma de pares. En el árticulo de la Revista del Foro, se afirma que el axioma de pares afirma la existencia de pares estratificados nivelados. No afirma nada sobre pares no estratificados. Sin embargo, en el libro de Holmes por lo que creo entender, afirma la existencia del par   para cualesquier objetos    y  de la teoría, no necesariamente del mismo tipo

El axioma de los pares no afirma la existencia de pares. El término es un término primitivo del lenguaje de NFA (al menos en la que llamas formalización corta) y, por consiguiente, está definido para todo par de objetos e . El axioma de los pares sólo afirma que cada par ordenado determina a sus dos componentes.

Ahora bien, la definición de estratificación hace que si dos términos y están estratificados y tienen el mismo tipo, entonces el término también está estratificado y tiene el mismo tipo. Si no introducimos los pares ordenados como términos primitivos o no los definimos adecuadamente (para lo cual es necesario el axioma de infinitud), sólo contamos con los pares usuales en la teoría de conjuntos, definidos como que no están nivelados.

Tu pregunta contiene implícitamente un equívoco, pues al hablar de "cualesquiera objetos de la teoría, no necesariamente del mismo tipo" das a entender que cada objeto tiene un tipo asignado, y esto no es así. Los conjuntos y los átomos no tienen un tipo definido en NFA, sino que el tipo es una propiedad que podemos asignar a los distintos términos del lenguaje formal de NFA, de modo que un mismo objeto puede ser nombrado por términos que admitan tipos distintos en estratificaciones distintas. Por ejemplo, en una estratificación podemos asignar tipo 4 al conjunto vacío y en otra asignarle tipo 18.

La teoría se enriquece con el axioma de infinito y con el de elección, aunque parece ser que de la existencia de pares se deduce el axioma de infinito, que en el libro de Holmes se presenta como teorema en una forma un tanto curiosa, afirmando que el conjunto vacio no es un número natural, que viene a ser con la definición de número natural que se usa, decir que todo número tiene un siguiente.

Exacto. Si el conjunto de todos los conjuntos es finito, entonces su cardinal es un número natural que no tiene un siguiente. El axioma de infinitud niega esta posibilidad.

Por otro lado, si consideramos NFA + el axioma de elección y de infinito (por lo que se dice en el articulo de Ivorra ), el axioma de pares no es necesario pues se demuestra la existencia de pares nivelados.

Cierto.

Por otro lado, NFA+ AE+ AI es consistente si lo es NFA (esto creo que lo he leido en la pagina web de Holmes).

Si en NFA tomas pos pares ordenados como término primitivo, entonces lo que dices es cierto, porque AI es redundante. Pero si no es así, lo que dices es falso.

Creo que también NFA+AE+AI+AC (áxioma de computo) es relativamente consistente con respecto a NFA, aunque no sé ya si me he hecho un lío al respecto.

Eso es falso. En NFA +AE + AI + AC se puede construir un modelo de NFA + AE + AI, lo cual, a través del teorema de incompletitud de Gödel, se traduce en que es imposible demostrar la teoría de la primera teoría a partir de la consistencia de la segunda.

Con estos axiomas se puede demostrar la existencia de los números reales (que Holmes construye a través de las cortaduras de Dedekind)

Con respecto a esto último, tengo otra duda, igual que el áxioma de elección es clave en el ánalisis construido en ZF, su admisión provoca por ejemplo la existencia de conjuntos no medibles, que no es posible demostrar sin él , garantiza (creo) la existencia de bases infinitas para los espacios vectoriales infinitos, y supongo que muchas más cosas, no puede provocar el trabajar en NFA+AE+AI+AC con respecto a ZFC alguna diferencia substancial en alguna cuestión importante del ánalisis.

Sospecho que no y tengo alguna idea sobre cómo podría demostrarse que no, pero es algo delicado y no me atrevería a afirmarlo sin estudiarlo a fondo. La idea es que (creo) que es posible construir un modelo de ZFC con un autormorfismo no trivial j que fije a todos los ordinales menores que un ordinal suficientemente grande, y eso permitiría construir un modelo de NFA+AE+AI+AC en el que sea isomorfo al correspondiente a un modelo de ZFC.

[Sailor Starruler]

Tu pregunta contiene implícitamente un equívoco, pues al hablar de "cualesquiera objetos de la teoría, no necesariamente del mismo tipo" das a entender que cada objeto tiene un tipo asignado

Pero, ¿no se podría "fijar un gauge", es decir, ponerse de acuerdo para que cuando en cualquier fórmula estratificada aparezca un determinado objeto, se le asigne siempre el mismo tipo, al conjunto vacío y a los átomos tipo 0, a los conjuntos de átomos y/o conjunto vacio tipo 1, a conjuntos de conjuntos de átomos tipo 2, etc...? Por supuesto, siempre va a haber  objetos que no están estratificados (los ordinales de Von Neumann por ejemplo) Dicho de otra forma, los tipos de los objetos siempre son relativos, pero la diferencia de los tipos entre objetos es absoluta en cualquier caso

[Carlos Ivorra]

Pero, ¿no se podría "fijar un gauge", es decir, ponerse de acuerdo para que cuando en cualquier fórmula estratificada aparezca un determinado objeto, se le asigne siempre el mismo tipo, al conjunto vacío y a los átomos tipo 0, a los conjuntos de átomos y/o conjunto vacio tipo 1, a conjuntos de conjuntos de átomos tipo 2, etc...?

Eso tiene un nombre: teoría de tipos, y hay varias teorías de tipos, desde la más complicada (la de los Principia Mathematica) hasta otras más simples, como TST (http://en.wikipedia.org/wiki/New_Foundations). Precisamente NFA se creó con la intención de evitar eso que propones, es decir, evitar que cada objeto tenga asignado un tipo, porque la lógica subyacente es entonces más complicada.

Por supuesto, siempre va a haber  objetos que no están estratificados (los ordinales de Von Neumann por ejemplo)

Eso sigue siendo capcioso. No hay objetos estratificados y no estratificados, sino definiciones estratificadas y no estratificadas. No es lo mismo. Por ejemplo, la definición de ordinal de von Neumann no está estratificada, pero , , son ordinales de von Neumann, y cualquiera de los tres tiene una definición estratificada.

Dicho de otra forma, los tipos de los objetos siempre son relativos, pero la diferencia de los tipos entre objetos es absoluta en cualquier caso.

No, eso no es cierto. Tú puedes estratificar las fórmulas





pero en la primera tienes que asignar el mismo tipo a 2 y a 3, mientras que en la segunda tienes que asignar necesariamente tipo una unidad mayor a 2 que a 3.

[Sailor Starruler]

Pero entonces no termino de entender el sentido de que una determinada función "sube un tipo", por ejemplo cuando creamos clases de equivalencia a partir de una relación.

[Carlos Ivorra]

Pero entonces no termino de entender el sentido de que una determinada función "sube un tipo", por ejemplo cuando creamos clases de equivalencia a partir de una relación.

Todo lo relacionado con tipos no tiene que ver con objetos, sino con nombres de objetos. Si es una relación de equivalencia en un conjunto , cualquier estratificación de la fórmula debe asignar a la variable un tipo una unidad superior al asignado a la variable , pero eso no se puede interpretar como que los elementos de tienen menor tipo que los de .

Por ejemplo, si y es la relación usual para definir los números enteros, es decir, , podemos definir , pero en principio no podemos definir la aplicación natural porque la definición no está estratificada, la expresión (no el objeto) de la derecha tiene tipo mayor que la de la izquierda.

Ahora bien, si suponemos el axioma de cómputo, entonces podemos definir i mediante , porque , pero el término de la izquierda tiene tipo una unidad menor que el de la derecha (fíjate bien: tenemos dos expresiones que nombran el mismo conjunto y cada una de ellas tiene un tipo distinto, ¿qué más necesitas para ver que no es posible asignar un tipo a cada objeto?). Así pues, no tiene sentido decir que los elementos de tienen tipo mayor que los de , porque si usamos el operador podemos nombrar cada clase de con un término que tiene el mismo tipo que el objeto de que determina la clase.

En resumen: los tipos son propiedades de los posibles nombres de los objetos, no de los objetos. Un mismo objeto puede tener nombres de tipos diferentes dentro de una misma fórmula.

[Sailor Starruler]

Otra cuestión sobre NFA: ¿El conjunto de todos los conjuntos PUROS? ¿es fuertemente cantoriano, o al menos, cantoriano?

[Carlos Ivorra]

Otra cuestión sobre NFA: ¿El conjunto de todos los conjuntos PUROS? ¿es fuertemente cantoriano, o al menos, cantoriano?

No recuerdo haber visto la definición de conjunto puro. ¿Puedes dármela?

[Sailor Starruler]

Bueno, creo que lo que se entiende por conjunto puro (aunque no la he sacado del libro de Holmes en concreto), es aquel en el que sí generamos un grafo en el que del  conjunto brotan ramas con los elementos de cada conjunto en sus extremos, y de esos elementos otras ramas con los elementos de los elementos, etc...Al final todas las ramas terminarían en el conjunto vacio, nunca en un átomo

[Carlos Ivorra]

¿Se puede definir en NFA el conjunto de todos los conjuntos puros? No digo que no se pueda, pero no se me ocurre cómo. Cualquier intento de definición que se me ocurre no está estratificada y no es válida en NFA. Tampoco veo que eso se arregle suponiendo ninguno de los axiomas adicionales que permiten relajar las exigencias de estratificación.