Desigualdad

[Lm4]

Un último intento. No sé si no he recibido ninguna respuesta por la posible dificultad del problema o porque el post estaba desorganizado. He borrado las (inservibles) explicaciones de mis intentos junto con todos los mensajes posteriores y dejo el enunciado para que se vea claro lo que se pide:

Sean espacios de Banach, un subconjunto abierto convexo de y una aplicación diferenciable con diferencial lipschitziana en , es decir, tal que , entendiéndose la primera norma como la norma de las aplicaciones lineales de a .

Probar que:

[Lm4]

Refloto por última vez el post.

[el_manco]

Hola

 Pero creo que en el enunciado no has escrito bien la condición de que la diferencial sea lipschizana. Lo que has escrito es que la función es lipschiziana (no tengo estas cosas frescas así que corrígeme si me equivoco).

 Fíjata que una cosa que suelo hacer para pensar estos problemas, es olvidarme por un momento de espacios de Banach y pensar en el problema análogo en Por simplificar,de momento, considero , . Entonces tendríamos que probar que:



 Ahora observa que para , se da la igualdad y si derivamos amos términos (OJO; no quiero decir que la derivación conserve la desigualdad), queda:



 Ahora le doy la vuelta al argumento. Grosso modo: Si dos funciones valen lo mismo en cero y la derivada de la primera es menor o igual que la de la segunda, entonces la primera función crece más lentamente que la segunda y por tanto se conserva la desigualdad.

 Entonces la condición que necesito para este argumento (de momento grosero) es que:



 Y eso si que es que la derivada (la diferencial) sea liptchiziana; pero no es la condición que tu has escrito.

Saludos.

[Lm4]

Hola el_manco. Gracias por corregirme la errata, quería decir , con la norma de las aplicaciones lineales y continuas entre e . Yo he intentado trasladarlo a un problema análogo en y si es dos veces diferenciable se sigue por la fórmula de Taylor, pues la segunda derivada está acotada por la propia constante de Lipschitz de la primera derivada. Pero en general y si encima sólo garantizamos que es una vez derivable ni idea, la verdad.

Comento un poco mi intento lo más brevemente posible. La función es diferenciable Fréchet puesto que lo es por hipótesis y es lineal, y por tanto diferenciable Fréchet. Aplicando el Teorema del Valor Medio sobre el segmente se tiene que

Donde he utilizado que la diferencial de una aplicación lineal en cualquier punto es ella misma. Pero la cuestión es que hay que acotarlo por la mitad de esa cantidad. Lo he hablado con mi profesor y me ha dicho que esa cota mejorada se sigue de un resultado sobre integración de aplicaciones entre espacios de Banach, pero desconozco totalmente tal teoría. Es simplemente una mera curiosidad que tengo por saber si hay algún método más o menos elemental utilizando solamente el Teorema del Valor Medio para llegar a tal cota.