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numbsoul

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Deducción en la prueba de descomposición en p-torsiones (acerca de anuladores)

« : 12/06/2012, 10:27:52 pm »

Sea DIP, A-módulo de torsión tal que $\mathcal Ann(M)=<a>$ con $a\neq 0$ (esto pasa por ejemplo,si es de tipo finito).

Escribamos la factorización: $a=\mu p_{1}^{r_{1}}\ldots p_{s}^{r_{s}}$

Se tiene que $M=\oplus_{i=1}^{s}M[p_{i}]$ con $\mathcal Ann(M[p_{i}])=<p_{i}^{r_{i}}>$ .

En la demostración de la descomposición en suma directa no tengo dudas;pero lo del anulador no lo he podido ver.(Hay que deducirlo)

Hice lo siguiente:Todo $m\in M$ se descompone como $m=\displaystyle\sum_{i=1}^{s}c_{i}\dfrac{a}{p_{i}^{r_{i}}}m$ ,donde cada $\dfrac{a}{p_{i}^{r_{i}}}m\in M_{p_{i}}}$ y los $c_{i}\in A$ cumplen que $\displaystyle\sum_{i=1}^{s}c_{i}\dfrac{a}{p_{i}^{r_{i}}}=1$ ,conforme a la demostración de descomposición en suma directa.

Como la suma es directa,si $m\in M[p_{j}]$ ,se ve claramente que $p_{j}^{r_{j}}m=0$ (pues

anula todos los elementos).Como esto pasa para todo $m\in M[p_{j}]$ ,se tiene que $p_{j}^{r_{j}}\in \mathcal Ann(M[p_{j}])$ .De manera que $<p_{j}^{r_{j}}>\subseteq Ann(M[p_{j}])$ para todo $1\leq j\leq s$ .

Me falta probar la otra contención :triste:

.
Seguramente es algo sencillo.


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$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{\pi^{2}}{6}$

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Re: Duda en la demostración de descomposición en p-torsiones (acerca de anuladores)

« Respuesta #1 : 13/06/2012, 09:10:50 am »

Como

es principal,existe $h_{j}\in A$ tal que $\mathcal Ann(M[p_{j}])=<h_{j}>$ .

Debo ver que $h_{j}\in <p_{j}^{r_{j}}>$ ,equivalentemente, $p_{j}^{r_{j}}|h_{j}$ .

Tenemos que $h_{j}x=0\;\forall x\in M[p_{j}]$ .

Sabemos que $<p_{j}^{r_{j}}>\subseteq <h_{j}>$ ,con lo cual $h_{j}|p_{j}^{r_{j}}$ y así $h_{j}=p_{j}^{t_{j}}$ con $0\leq t_{j}\leq r_{j}$ .(salvo asociados)

Hay que probar que $t_{j}=r_{j}$ .

¿Qué puedo hacer?


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Re: Duda en la demostración de descomposición en p-torsiones (acerca de anuladores)

« Respuesta #2 : 13/06/2012, 09:55:16 am »

Retomemos.

Tenemos que $<a>=\mathcal Ann(M)=\bigcap_{i=1}^{s}\mathcal Ann(M[p_{i}])$ .

Además,por el teorema chino del resto,se tiene $\dfrac{A}{<a>}\cong \prod_{i=1}^{s} \dfrac{A}{<p_{i}^{r_{i}}>}$ .

¿Qué puedo concluir de aquí?


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Re: Duda en la demostración de descomposición en p-torsiones (acerca de anuladores)

« Respuesta #3 : 13/06/2012, 10:07:23 am »

Probamos además que los anuladores de las p-torsiones son coprimas dos a dos,con lo cual también por el teorema chino del resto,se tiene $\dfrac{A}{\bigcap_{i=1}^{s}\mathcal Ann(M[p_{i}])}\cong \prod_{i=1}^{s}\dfrac{A}{\mathcal Ann(M[p_{i}])}$ .

Reescribiendo conforme a la notación anterior y combinando con el resultado del post anterior,tenemos que $\prod_{i=1}^{s}\dfrac{A}{<p_{i}^{t_{i}}>}\cong \prod \dfrac{A}{<p_{i}^{r_{i}}>}$ ,donde $t_{i}\leq r_{i}\;\forall 1\leq i\leq s$ .

De aquí debiera salir algo...


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Re: Duda en la demostración de descomposición en p-torsiones (acerca de anuladores)

« Respuesta #4 : 13/06/2012, 03:03:14 pm »

Un intento más:

El anulador de un cociente $\dfrac{A}{<b>}$ es claramente

.

Como dos módulos isomorfos tienen el mismo anulador,resulta que:

$<a>=\mathcal Ann(\dfrac{A}{<a>})=\bigcap_{i=1}^{s}\mathcal Ann(\dfrac{A}{<p_{i}^{t_{i}}>})=\bigcap_{i=1}^{s}<p_{i}^{t_{i}}>=<\prod_{i=1}^{s}p_{i}^{t_{i}}>$ ,de manera que $a|\prod_{i=1}^{s}p_{i}^{t_{i}}$ y así $r_{i}\leq t_{i}$ para todo $1\leq i\leq s$ ,que era lo que queríamos probar.


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