Sea un cuadrilátero

[michel]

Sea un cuadrilátero ABCD cuya superficie es S.
Se prolonga el lado AB por el punto B hasta el punto M, tal que BM=AB/2.
Análogamente se prolonga el lado BC por C hasta N, tal que CN=BC/2, y lo mismo se hace con los otros dos lados, que se prolongan en las mismas condiciones hasta P y Q.
 Hallar la superficie del cuadrilátero MNPQ.

[michel]

Con la expresión S(X) se designa el área de la figura X.

Los triángulos 1 tienen iguales las bases AR, RB y BM, y la misma altura (perpendicular desde el vértice común Q a la recta de las bases), luego son equivalentes.

Los triángulos AQR y AUR tienen base iguales, AQ y AU, y la misma altura; luego son equivalentes. Entonces S(AQM)=3S(1)=3S(m).

Análogamente S(BMN)=3S(2)=3S(n),  S(CNF)=3S(3),   S(PDQ)=3S(4)=3S(q)

Por tanto, la suma de las áreas de los cuatro triángulos exteriores al cuadrilátero dado (AQM, BMN, CNP y DPQ) es igual al triplo de la suma del as áreas de los cuatro triángulos interiores (m, n, p y q).
Pero la suma de estos cuatro triángulos es igual al área del paralelogramo RSTU, en virtud de que si se toman como vértices los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cualquiera, resulta un paralelogramo de área mitad del área del cuadrilátero.

Resulta: S(m)+S(n)+S(p)+S(q)=S(RSTU)=S(ABCD)/2=S/2.

Por tanto, el área del cuadrilátero MNPQ vale 3S/2+S=5S/2.

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