Hola
Cuando hallo la dimensión directamente estoy hallando la base al eliminar un vector del conjunto generador de S, ¿no? simplemente es contar la cantidad de elementos. Me parece raro que estén en apartados distintos.
Para hallar la dimensión te basta hallar el rango. Si lo haces escalonando, matas dos pájaros de un tiro: sabes el rango y una base del subespacio vectorial.
Para agregar el vector que junto a los otros dos genere a R3 simplemente planteé la matriz con los vectores de la base en las columnas y un vector incógnita. Si el determinante de esa matriz es cero entonces es LI, escalerice y obtuve una ecuacion con las coordenadas del vector (no sé si será correcto llamarle coordenadas) y ahi saque uno de los tantos vectores que puedo agregar.
Si. Simplemente te basta añadir un vector, que haga que la nueva matriz de coordenadas tenga determinante no nulo.
Saludos.
