Muchas gracias por tu respuesta. La verdad es que después de visto no era tan complicado. Te comento lo que he pensado para demostrarlo y si puedes me comentas algo (cuando uno lleva un tiempo alejado de ciertos temas, hasta lo más fácil parece dificil).
Partimos de una familia
no vacía de conjuntos de
y queremos construir un álgebra (el más pequeño) que lo contenga. A este álgebra lo llamamos
. Vamos a imaginarnos
como una bolsa que contiene a los elementos de
y a otros elementos de tal forma que sea cerrada para la complementación, para intersecciones finitas (y también para uniones finitas) y que contenga al vacío y al total.
Puesto que
ha de contener a
, lo primero que vamos a hacer es meter en una bolsa a todos los elementos de
. A continuación, metemos el vacío, el total
y los complementarios de
(pues las álgebras han de ser cerradas para la complementación). Tenemos así
.
Metiendo sólo los conjuntos anteriores, no tenemos garantizado que tengamos un álgebra pues no sabemos aun qué pasa con las intersecciones finitas. El siguiente paso por tanto es añadir a la bolsa todas las intersecciones finitas de los elementos que ya tenemos dentro, es decir, todas las intersecciones finitas de los elementos de
. Todos los elementos de
más los que hemos añadido ahora es lo que llamamos
.
Hasta este momento, si
, sabemos que sus complementarios están en nuestra bolsa y que la intersección de ellos también lo está (pues
). Sin embargo su unión no tiene porque estar en la bolsa (mientras que debe estar en
).
El siguiente paso es añadir a la bolsa las uniones finitas de los elementos que ya forman parte de ella. Sin embargo, en lugar de añadir todas las uniones finitas de elementos de
, vamos a añadir sólo las uniones finitas DISJUNTAS, garantizando así que
, siendo
todos los elementos que hemos metido en la bolsa hasta el momento.
Por último, se puede demostrar (esto lo tengo ya hecho) que
es un álgebra (que obviamente contiene a
), con lo que
. Tenemos así probado que
.
Me interesaría conocer tu opinión, sobre todo, respecto al hecho de que
. Así como las contenciones
y
me parecen claras, el hecho de que
no lo vea tan claro.
Muchas gracias.
