Sea AB el diámetro

[michel]

Sea AB el diámetro de una circunferencia, O el punto medio de uno de los arcos que van de A a B, y C un punto cualquiera del arco OB.
Dibujar las rectas AC, OC, y sea D la intersección de OC con AB.
Sea DE perpendicular a AD y E su intersección con AC.
Demostrar que los segmentos BD y DE tienen la misma longitud.

[michel]

Unamos B y C.

El ángulo ACB es recto por estar inscrito  en una semicircunferencia; luego el ángulo ECB también es recto.
Entonces el cuadrilátero BDEC tiene los ángulos opuestos suplementarios, por lo que es inscriptible en la circunferencia de diámetro BE.

Por otra parte, el ángulo OCA vale 45º por ser inscrito y abarcar el arco AO que vale 90º, por lo que el ángulo ECE vale también 45º por opuesto por el vértice.

Resulta que CD es la bisectriz del ángulo ECB, por lo que D es el punto medio del arco EDB.

En consecuencia, los arcos DE y DB son iguales, así como sus cuerdas respectivas.
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