Dados 3 Puntos (X,Y,Z) Hallar el centro de la esfera que los contiene

[RiverPlate]

Buenas Noches.

Quisiera pedirles el favor a ver si me pueden colaborar con dos problemitas.

El trabajo que tengo es el siguiente, es de programación, debo hacer un programa en java que reciba 3 puntos (x,y,z) y un Radio y me retorne el centro de la esfera que los contiene. (La parte de la programación obviamente yo se hacerla)

El primer problema es este, con 3 puntos y el radio se asegura que exista dicha esfera o necesito 4 puntos? O pueden haber infinitas o ninguna esfera?

El segundo es, si tengo 3 puntos entonces tendría también 3 ecuaciones de la esfera de la forma

el problema es que tengo que despejar esta ecuación para que funcione en el algoritmo de forma general, no se si se pueda esto, y ademas no se como podría reducir o despejar las 3 ecuaciones.

Muchas Gracias. 

[HernanV]

Usa coordenadas esféricas.

[RiverPlate]

Baaaah me mataste con la respuesta  Y como se usan y que son? Ademas el ejercicio es con coordenadas (X,Y,Z) con x,y,z enteros.

[el_manco]

Hola

 Efectivamente si los puntos son y el radio es el centro de la esfera viene dado por la solución del sistema:

con

 En primer lugar dos obsevaciones:

 - No siempre tendrá solución: si dos de los puntos distan más del doble del radio.
 - La solución, si existe, normalmente no será única. La intersección de dos esferas es: una circunferencia, un punto (si son tangentes) o vacía. Al intersecar con una tercera podemos obtener: dos puntos (caso más general si hay solución), un punto, o una circunferencia. Puede haber por tanto ninguna, una, dos o infinitas soluciones.

 Para resolver el sistema puedes hacer lo siguiente:

 - Si restas la primera ecuación a las otras dos, obtendrás dos ecuaciones lineales: dos planos. Geométricamente son los planos de puntos equidistantes a los centros de las esferas restadas.
 - Con esos dos planos puedes poner todas las variables en función de una sola.
 - Sustituyendo ahora en una de las esferas iniciales tendrás una simple ecuación de segundo grado en una incógnita.

Saludos.

[RiverPlate]

Primero Muchas Gracias por las respuestas   

Realice lo siguiente basado en tu respuesta, primero a la ecuación 2 y 3 les reste la 1



 
 y efectivamente obtuve 2 ecuaciones lineales igualadas a 0.






 Tome las dos ecuaciones y las iguale y las opere, luego de simplificarlas y factorizar obtuve una ecuación de la cual puedo despejar x y z sin ningún problema. 



No se si estuvo bien lo que hice o no, pero dado el caso de que si, de la ultima ecuación puedo obtener las formulas generales para X, Y y Z o no?

Gracias por la ayuda 

[el_manco]

Hola

 No exactamente. La cosa es más trabajosa.

 De UNA sola ecuación con tres incógnitas no puedes pretender hallar esas tres incógnitas.

 Lo que debes de hacer es utilizando las dos ecuaciones lineales, poner las tres variables en función de una sola de ellas (despejando por ejemplo una variable en una y susituyendo en la otra).

 Después susituyes esas tres variables que ahora dependen de una sola en una de tus ecuaciones iniciales y te saldrá una ecuación de segundo grado.

Saludos.

[RiverPlate]

Listo Gracias, entonces hasta las dos ecuaciones lineales esta bien?

Ya es usar los metodos para despejar reemplazando y despues  usar formula del bachiller para solucionar la ecuacion de segundo grado?

Gracias.

[el_manco]

Hola

 ¡Correcto!.

Saludos.

[RiverPlate]

Buenas Tardes, amigo otra pregunta.

Ya despeje las ecuaciones como me dijiste, despeje X de la Ecuacion 1 y luego reemplaze X en la 2 y obtuve Y, la pregunta es: Para obtener Z debo reemplazar X y Y en alguna de las dos ecuaciones o hay alguna manera un poco más simplificada para hacerlo porque estan quedando ecuaciones larguisimas, y aun me falta reemplazar X, Y y Z en la ecuacion inicial para lograr la ecuacion de segundo grado.

Gracias.

[el_manco]

Hola

 Si, las ecuaciones son feas.

 Pero teniendo en cuenta que si entendí bien, todo esto tienes que programarlo, no hagas las fórmulas de golpe. Puedes usar variables o subfunciones auxiliares.

 Por ejemplo haz una función que dada la ecuación de dos planos te devuelva el vector director y un punto de la recta intersección.

 Luego otra función que dado el vector director de una recta, un punto de la misma y una esfera, te devuelva la intersección de ambos.

Saludos.

[RiverPlate]

Si, es para programarlo, la idea era despejar las formulas de X, Y y Z como me dijiste para obtener la de segundo grado, y ahi hacer una subfuncion que me resuelva las posibles respuestas,
pero el problema de lo que me decis es que no sabria como hacerlo para vectores, porque en el ejercicio no me mencionan rectas ni nada de eso, solo me dan 3 puntos cualquiera y un radio y Yo debo hacer el programa que muestre las 2 esferas que los contienen, si existen, o si no, o si hay infinitas. 

[el_manco]

Hola

Si, es para programarlo, la idea era despejar las formulas de X, Y y Z como me dijiste para obtener la de segundo grado, y ahi hacer una subfuncion que me resuelva las posibles respuestas,
pero el problema de lo que me decis es que no sabria como hacerlo para vectores, porque en el ejercicio no me mencionan rectas ni nada de eso, solo me dan 3 puntos cualquiera y un radio y Yo debo hacer el programa que muestre las 2 esferas que los contienen, si existen, o si no, o si hay infinitas. 

Creo que no me has entendido mi última sugerencia.

Haz una subfunción INTERSECAPLANOS que tenga como datos dos planos:




es decir, como datos de entrada . La salida será la recta intersección. Puedes dar su vector director y un punto de la misma

Puedes tomar:

producto vectorial

y como solución del sistema:





 es decir:



 Luego haz otra INTERSECARECTAESFERA que tenga como datos el vector director de una recta, un punto de la misma , el centro de una esfera y su radio y te devuelva la intersección de ambos.

 Para ello baste que tomes:



 susituyas en:



 y halles resolviendo la correspondiente ecuación de segundo grado. Incluso puedes tener hecha previamente otra subfunción que te resuelva ecuaciones de segundo grado.

 La idea ahora es que apliques la función INTERSECAPLANOS a los planos que te comenté al principio de mis explicaciones:





 E interseces la recta intersección con la primera de las esferas:



 usando la segunda subfunción.

 El subdividir el programa en funciones te evita arrastrar en las cuentas las expresiones que dependen de los datos iniciales, que serían cada vez más extensas.

Saludos.

[RiverPlate]

Una pregunta, por matrices no se puede resolver el sistema de ecuaciones?? Porque de verdad que me quede estancado en el despeje de las ecuaciones, tenia X y Y pero aun no puedo con Z..

[RiverPlate]

Buenas noches, tengo la siguiente inquietud: Me piden hallar el centro de una esfera y me dan 3 puntos y el radio, entonces dados los 3 puntos tendria 3 ecuaciones de la esfera para resolver y hallar el centro de la esfera que contiene los puntos.





Es posible solucionar el sistema de las 3 ecuaciones por matrices?

Gracias

[el_manco]

Hola

 Por favor RiverPlate no preguntes sobre el mismo tema en hilos distintos.

 Me gustaría que leyeses de manera comprensiva mis  mensajes. En el último de ellos te he dado las fórmulasexplícitas para resolver un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas que es parte de lo que necesitas para resolver el problema.

 Intenta concretar que cosas no entiendes.

Saludos.

[RiverPlate]

Disculpame por el error.

Pasa que la ultima respuesta tuya no la entendi, en la que le metiste planos, vectores, rectas, ahi no entendi nada, y ademas no fui capaz de desarrollar todas las ecuaciones porque me confundi despejandolas y reemplazando.

Entonces por eso me acorde de la Clase de Algebra lineal y por eso pregunte en ese subforo si habia manera de resolver las dos ecuaciones lineales que me dijiste en una matriz, investigando supe que se podia reducir por gauss jordan pero como te dije que era para programar no pude implementar el metodo de Gauss jordan y ahi deje el trabajo sin terminar, de todas maneras si me gustaria saber si es posible solucionar la matriz por otras formas para obtener X , Y y Z para terminar el trabajo en algun momento.

Muchas Gracias por toda la ayuda. 

[el_manco]

Hola

 Si no entiendes algo concreta las dudas y lo desmenuzamos. Es curioso porque el mensaje que no entiende es donde están más detalladas y casi punto por punto las fórmulas que tienes que pasar al ordenador.

 Lo que utilizo esencialmente es que la intersección de dos planos es una recta. Los puntos de está pueden darse como aquellos que se obtienen sumando a un punto de la misma un parámetro por su vector director.

 Insisto en que intentes concretar tus dudas.

 Finalmente los métodos matriciales funcionan bien para sistemas lineales. El tuyo no lo es. Es de grado dos.

Saludos.