Hola
mcf¿Estás segura que dice hallar la función generatriz de
en el apartado a)? Para mi debiera ser
donde
se define como la convolución
.
Sea como sea, te ayudo a encontrar
(una vez que halles su término
n-ésimo puedes calcular
, y de ahí no debiera ser muy complicado determinar su función generatriz). Fijate que
es la cantidad de soluciones enteras de la ecuación:
donde
y
para
. Por lo tanto este problema también puede resolverse usando el principio de inclusión-exclusión; a mi me parece más natural así que usando funciones generatrices. De todas maneras, vamos a hacerlo por el método que te piden. Nota que la cantidad de soluciones de
son todas las maneras de obtener
como producto de potencias de los siguientes factores (una por cada factor):
Ahora el problema se reduce a contar cuántos términos hay de la forma
tales que
, donde las potencias
las extrajimos de los primeros
factores (y por lo tanto
) y
de los últimos
(o sea, que sus exponentes verifican
). La cantidad de términos de esta forma es el coeficiente de
, que es el mismo que se obiene a partir de la serie de potencias:
ya que los términos de la forma
para
nunca los usamos. Esta observación ayuda bastante porque al momento de determinar el coeficiente de algún término en particular, es más fácil trabajar con la serie de potencias que con el polinomio. Observa que:
Entonces, usando binomio de Newton y teniendo en cuenta que
, se tiene:
Así, el coeficiente de
es:
Luego,
Para este último paso usé que
. También estoy asumiendo que
cuando
, de lo contrario algún número combinatorio podría quedar mal definido.
Bueno, espero que te haya servido mi respuesta.
Un saludo
