Investigar si las siguientes funciones son integrables

[Hernan_ER]

Hola. Tengo el siguiente ejercicio:



Sé que debo encontrar una partición tal que la diferencia de las sumas superiores e inferiores las puedo acotar tanto como quiera por epsilon. En este caso creo que debo analizar las funciones donde están definidas por separado. Pero, no sé por donde empezar para encontrar una partición genérica, es la primera vez que demuestro algo así asi que me gustaría que me den un empujonsito para que pueda seguir.

Gracias!

[Hernan_ER]

En el primer caso ¿podría aplicar el teorema de que si es continua es integrable? Entonces se que es continua en [0,1] y es continua en [1,2]. Al ser integrable en estos dos intervalos es integrable en [0,2], ¿es esa la mecánica o debo encontrar si o si una partición que pueda acotar tanto como quiera?

Gracias.

[elias0612]

Hola la primera solo tiene 1 discontinuidad es integrable  pero depende en que sentido estas trabajando.

[Hernan_ER]

Yo use ese teorema de que si es continua en dos intervalos entonces es integrable en esos dos intervalos, y como el extremo de un intervalo es el origen de otro entonces es integrable en todo el intervalo. ¿Como podria seguir con los demas?

[Carlos Ivorra]

Si sabes estudiar la primera, sabes estudiar la segunda, porque se puede expresar del mismo modo, como una función a trozos que sólo es discontinua en 1 y en 2.

En cuanto a la tercera, no es integrable. Si tienes algo de teoría a mano, creo que la prueba se simplifica si puedes usar que, de ser integrable en también lo sería en , porque para ver que no es integrable en es fácil observar que toda suma inferior es y toda suma superior es al menos . Si no puedes usar eso, se puede razonar de forma parecida, pero hilando un poco más fino.