Demostraciones Matematicas problemas ejercicios preguntas consultas dudas ayuda apoyo, tareas. Foros. Tex, Latex Editor. Latexrender. Math help

Sea la base canónica de $\mathbb{R}^{3}$ y $\mathbb{B}^{\prime}=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$ otra base de $\mathbb{R}^{3}$ .

Son y $(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})$ son las coordenadas de un vector respecto de dichas bases respectivamente.

Se cumple:

$\left\{ \begin{array}{c} x^{\prime}=x+y+z \\ y^{\prime}=2y+z \\ z^{\prime}=x-z=0 \end{array}\right$

¿Podemos calcular los vectores $\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$ ? Hallarlos.

Bueno, lo que he hecho es:

Tenemos la expresión analítica del cambio de base de $\mathbb{B}^{\prime}$ a $B_{c}$ (Base canónica) es:

$(x+y+z,2y-z,x-z)=(x,y,z)\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$

Y la matriz de cambio de base es por tanto:

$M_{B_{c}{\mathbb{B}^{\prime}}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} e_{1} & en & {\mathbb{B}^{\prime}} \\ e_{2} & en & {\mathbb{B}^{\prime}} \\ e_{3} & en & {\mathbb{B}^{\prime}} \end{pmatrix}$

Entonces, si el sistema de cambio de base anterior es : $X^{\prime}=XA$ , es $X^{\prime}A^{-1}=X$ .

Luego la inversa de A es la matriz deseada:

$\displaystyle\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & -2 \end{pmatrix}$

Y los vectores $\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$ en la base canónica son: $\{(-2,1,2),(1,0,-1),(3,-1,-2)\}$

¿Es correcto?

Salu2

	Autor	Tema: Ejercicio cambio de base (Leído 111 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.