Hola buenas, tengo una dudita en el siguiente problema que no sé si he resuelto bien, lo dejo aquí junto a su planteamiento:
Dada la hipérbola
calcula las coordenadas de un punto del tercer cuadrante cuya abscisa sea el doble que la ordenada.
Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a dicha hipérbola que pasan por este punto.
Lo he resuelto de la siguiente forma:
Dado que el punto buscado pertenece al tercer cuadrante, las coordenadas
del punto serán ambas negativas.
Puesto que la abscisa del punto buscado es el doble que la ordenada, es decir,
, el punto puede representarse de ambas formas:
ó
.
Cogemos P(-2y,-y) por ejemplo, y sustituimos en la ecuación de la elipse
:
Como el problema nos habla del tercer cuadrante cogemos
y sustituimos en
.
El punto buscado será
.
Ahora nos pide determinar las rectas tangentes y normal a la hipérbola que pasan por dicho punto.
La recta tangente a la hipérbola será de la forma:
Por lo que resolviendo el sistema
de forma que el discriminante de la primera ecuación en la que se ha despejado
, sea
, es decir
, para que la ecuación tenga únicamente solo dos soluciones, obtenemos
.
Con la ecuación de la recta tangente, puedo calcular facilmente la perpendicular a esta, que será la recta normal en dicho punto.
P.D: He calculado m, pero me da un valor un poco extraño para tratarse de un problema de bachillerato, aunque he repasado el ejercicio y todo parece estar bien, sería:
. Lo dejo así.
¿Estaría bien planteado el problema?
Un saludo.
