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Foros de matemática

20/05/2013, 06:13:16 am

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Foros de matemática > Matemática > Álgebra > Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) > Tema: Rango producto dos matrices

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	Autor	Tema: Rango producto dos matrices (Leído 72 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

diego.alvarez

Junior

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Sexo: Masculino

Chile

Mensajes: 38

Rango producto dos matrices

« : 23/05/2012, 05:50:36 pm »

Hola tengo problemas con este ejercicio, espero me puedan ayudar.
Debo probar esta desigualdad dado que $X \in \mathbb{F}^{m \times n}$ , $Y \in \mathbb{F}^{n \times p}$

$(rg(X)+rg(Y))-n\leq{rg(XY) }$

Saludos.


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el_manco

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Mensajes: 25.095

Re: Rango producto dos matrices

« Respuesta #1 : 24/05/2012, 01:42:22 pm »

Hola

Puedes probarlo interpretando las matrices como matrices asociadas aplicaciones lineales:

$f:F^n\longrightarrow{}F^m,\quad f(u)=Xu$
$g:F^p\longrightarrow{}F^n,\quad g(v)=Yv$

Entonces:

$rango(XY)=dim(Im(f\circ g))=dim(Im(f|_{Im(g)}))$

donde $f|_{Im(g)}$ es la restricción de

a la imagen de

.

Entonces por la fórmula de las dimensiones:

$dim(Im(f|_{Im(g)}))+dim(ker(f|_{Im(g)}))=dim(Im(g))=rango(Y)$

Por otra parte:

$dim(ker(f|_{Im(g)}))\leq dim(ker(f))=dim(F^n)-dim(im(f))=n-rango(X)$

Recapitulando:

$rango(XY)=dim(Im(g))=rango(Y)-dim(ker(f|_{Im(g)}))\geq$

$\geq rango(Y)-(n-rango(X))$

Saludos.


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iBágoas polas Fragas do Eume.!

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